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Rolf Nevanlinna. 



Die Mittelwerte m{r,(p^) lassen sich einfach mittels dci JENSENSChen Formel berechnen. 

 Beachtet man dass (f^ix)\>l für \x\<q und dass folglich m(r, --)~0 ist, so findet 



man dass 



m (r, (f^) = log I (f^ (0) ! = log 1^1 , falls r<\a^\<Q, 



log-, falls a;,|<r. 



, (r, v>) = log y^ (0) ; - log 



r 



Es ist somit 



Y^ m (r, y,) =n{r,f^a) log ? + ^ 1*^^ ^^J =/^^- '^* 

 = A^(?,/-a)-iV(r,/-a) + no(/-a)log^..' 

 Setzt man diesen Wert in die Beziehung (24) ein und beachtet man, dass Ho (/ - a) log ^ 

 ^ P (log Q + log ' ) , so wird also schliesshch 



,+ 1 



+ 



m 



(r, ^M-^ < C + 2 p log ^ + (23 + 1) log Ç + 2 log --_^, + log m (? , /) 

 + \ogn{Q,f~a) + NiQ,f-a)~ N (r, / - a), 



wo C nur von a, Co und Cp abhängt. Es ist klar, dass dasselbe Resultat gültig ist, wenn a 

 mit b vertauscht wird. 



9. Führt man die eben gefundenen oberen Schranken der Mittelwerte mir,y^-]{z = a,i) 

 in die Ungleichung (20) ein, so ergibt sich die in Aussicht gestellte fundamentale Beziehung 



(25) 



, (r, /)< C + 6 p (log ]. + log Ç) + 4 log -^ ^ + i\- (p , / - a) + N (?,/-&)- A^ (r, /') 



+ + + 



+ 2 logm (e, /) + log w(e, /--«) + log n(ç,/-fc), 



die also für 0<r<Q <Ii besteht, und wo die Grösse C nur von a, b, c« und c^ abhängt. 

 Um diese Formel auf eine einfachere Form zu bringen, eliminieren wir noch die zwei 

 letzten Gheder. Nach der JENSENSchen Formel ist einerseits für q'<R 



N (?', f - a) = C - noif - a)\ogQ' + m (q', f - a) - m ^p', ^r^) 

 <G -no(f-a)\ogQ' + m {q', / - a) , 



während andererseits für q <.q' 



JV(g',/-a)>J "^'"-^'-°^7"°^^- -^dr^[n(g,/-«)-no(/-a)]logg'. 



Es ist also 



n ((., / - a) log ^ < C - no (/ - o) log e + m (q', f - a). 



+ 



' 9' 



Tom. L 



Hier ist -ïio(/- a) log? ^ plog- ; wählt man ferner insbesondere 



