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(36) J^.^dr 



Po 



für zwei verschiedene Werte z konvergent ist. Zum Beweise genügt es also, wenn wir zeigen, 

 dass einerseits das Integral (36) und die Reihe (34), andererseits die Integrale (32) und (35) 

 gleichzeitig konvergent oder divergent sind. In der Tat findet man durch partielle Integration 



(orj, / iy(r./-- /) , iyfp„./-- z) N(e,f- z) , 1 f n{r.f-z)-n o(f-z) ^„ 

 ^ ' J r*+i '^'^ T/ ^" + U 7+' '^'' 



wonach das Integral (36) konvergent ist, falls das Integral 



CO 



(38) J^il^)dr 



konvergiert. Wird jenes Integral umgekehrt konvergent angenommen, so ist 



-z) 



Dieser letzte Ausdruck verschwindet also für c — oc, und man schliesst somit, dass das letzte 

 Glied der Ungleichung (37) für (> — oo endlich bleibt, woraus die Konvergenz von (38) folgt. 

 Die Integrale (36) und (38) sind also gleichzeitig konvergent oder divergent. Mittels der Formel 



f 



( n(r.f-z) , n(e„,f-z) njg.f -z) 1 ^ /_LV' 

 <■" " ' P.<'>W<? 



beweist man ferner in genau derselben Weise, dass auch das Integral (38) und die Reihe (34) 

 in Bezug auf Konvergenz und Divergenz gleichwertig sind, womit der erste Teil der Be- 

 hauptung nachgewiesen ist. 



Um zu zeigen, dass auch die Integrale (32) und (35) gleichzeitig konvergent oder divergent 

 sind, bemerken wir zunächst dass 



2ff 



1 r + + 



m (r, f) = ~ j log I / (re'") | dy ^ log M (r) . 



Eine Ungleichung von umgekehrter Richtung ergibt sich mittels der Formel (1) (S. 5). Be- 

 zeichnen a^{,u = 1,2, ■■ ■) die Nullstellen von f{x), so ist für r<9 



■in 



