Untersuchungen ilhrr den l'icard'' sehen Salz. 19 



(39) logM(r)<;e±rm(o,/). 



Für Q = qr {q > 1) ist folglich 



(39)' m (r. /) < log M (r) ^ |ii m (gr, /) , 



oder 



woraus die Behauptung unmittelbar folgt. Die Beziehung (35)' ergibt sich schliesslich als 

 Folge der Konvergenz des Integrals (35). 



12. Als zweite Anwendung des Satzes auf S. 17 werden wir durch Kombination der 

 Ungleichimg (31) mit der Grundungleichung (27) eine Abschätzung des Mittelwertes m{r,f) 

 selbst, sowie des Maximalmoduls M {>•) geben. Setzen wir z.B. fc = l, so folgt aus (31) zu- 

 nächst, dass 



?• ?0 



während andererseits für Qo< Q < q' 



j ^^dr^J -):^dr^m{Q,f)J - = ^m (p,/) > ^^m(o, /). 

 Po e 



Es wird also 



«K?. /)< ^ [C. + I (iV (^', /- a) + A/ (?',/- 6))], 

 oder durch Anwendung der Ungleichungen (5) und (6): 



logm(?,/) < C +2logQ' + ^og^ + ]tg{Niç',f-a) + .V (o',/ - b)). 



Hier hängt C nur von Ci, Cj und Qq, ti. Ii. (vgl. den Satz S. 17) nur von a, 6, Cq, c^, p, 

 Qo und fe (= 1) ab. Eliminiert man nun das letzte G-lied der Beziehung (27) durch die obige 

 Ungleichung, so findet man, wenn man q = ^-^^ setzt und wieder einfach q statt ^' schreibt, 

 folgendes Ergebnis: 



Es sei f{x)=Co + CpX''+--- (c^ ^^ 0) eine für \x\<ili reguläre analytische Funktion. 

 Bezeichnen a und b zwei endliche, von einander verschiedene Zahlen, und (/g eine beliebige posi- 

 tive Zahl <ZR, so existieren zwei nur von a, b, Cq, Cp, p und Qq abhängige Grössen Cj und G^ 

 derart, dass die Ungleichung 



m(r,/)<Ci + C, loge + 10log-i-: + iV(ç,/- a) + N(Q,f b) -iV(r,/') 



(40) '' '^ 



+ uig{N(Q,f-a)+NiQ,f~b)) 



für Co < '>< S < Tt besteht. 

 N:o 6. 



