20 • Rolf Nevanlinna. 



Aus (40) ergibt sich insbesondere der Polgesatz: 



Wenn f{x) eine ganze transzendente Fwiktion ist, so gilt für jedes endliche a,h (a^h) 

 und Q^ r: 



(41) m{r,f) + N {r,f')<10]og^_ + (1 + ^iQ)){N iç,f - a) + N iQ,f ~b)). 



Da der Unendlichkeitspimkt nach Voraussetzung eine wesentlich, singulare Stelle ist, so 

 ist nämlich [n(r, / — «) + n(r,/ — 6)] -. oo für r — oo, und demnach log(> = «(ç) [A''(o,/ — a) + 

 N{Q,f- h)], woraus die Behauptung unmittelbar folgt. 



Wir machen noch auf folgendes Korollar der Ungleichung (41) aufmerksam: 

 Es sei f (x) eine ganze transzendente Funktion. Bezeichnet q eine Zahl > 1 , und s eine 

 beliebig Meine positive Zahl, so besteht die U ngleichung 



(42) logM(|)<(i^ + *)[iV(o,/-a) + iV(ç,/-b)] 



von einem gewissen Wert q ab. 



Aus (41) folgt nämlich zunächst, wenn r = e — 1 gesetzt wird, 



mii>~l,f)<{l + t(Q))[N{Q,f a) + N(Q,f-b)], 

 und aus (39) für r < ç — 1 



logM(r)<^^;:m(? -1,/). 



Setzt man g = qr so ergibt sich die behauptete Beziehung (42) unmittelbar durch Verbindung 

 der zwei letzten Ungleichungen. 



Valikon hat früher die Ungleichung 



(42)' log M (^) < C [iV (e , / ^ a) + N ((»,/- b)] 



mit einem weniger scharfen Wert der Konstante C als der obige (^-^ + *) für eine ganze 

 Funktion endlicher Ordnung bewiesen. Für ganze Funktionen unendlicher Ordnung hat er 

 eine weniger genaue Ungleichung gegeben, die aus (42)' hervorgeht, wenn die linke Seite durch 



logM(-) ersetzt wird, wo * eine beliebig kleine positive Zahl bezeichnet, i) 



13. Aus der obigen Untersuchung ist hervorgegangen, dass eine ganze Funktion f{x), 

 bei gegebener Verteilung der Wurzeln der Gleichung f{x) = z für zwei verschiedene Werte z, 

 nicht beliebig stark für i^j — oo ins Unendliche wachsen kann. Nun kennt man aber auch 

 Ungleichungen, die etwas in umgekehrter Richtung aussagen, indem sie zeigen, dass das An- 

 wachsen von j{x), bei gegebener Dichte der Nullstelleu von f(x) — s für irgendeinen Wert z, 

 in der Umgebung des Unendlichkeitspunktes auch nicht beliebig schwach sein kann, es sei 

 denn dass / (j) konstant gleich z ist. Von derartigen Sätzen sind vor allem diejenigen zu 



') Vgl. die in der Fussnote 1) S. 3 unter f) zitierte Arbeit. 



Toni. 1. 



