22 RolfNevanlinna. 



14- Wir geben im Folgenden noch einige Sätze über das asymptotische Verhalten der 

 Quotienten '^'' „ y und 



Hr.^)=\^-^.'^äV.\^lMläi, 



welche ebenfalls unmittelbare Konsequenzen der oben hergeleiteten Ungleichungen sind: 

 Es sei k eine positive Zahl, und f{x) eine ganze Funktion derart, dass das Integral 



divergent ist. Dann ist 



(47) limsup ^''";f"^' <l, lim8upfe(r,s)^l 



r— .» "•(.'./; »-»00 



für jedes endliche z, und 



(48) lim sup ^^^^>|, limsup/i(r,0;^^ 



/itr jedes e, ausser möglicherweise einem einzigen Werl. 



Der erste Teil der Behauptung ist eine unmittelbare Folgerung der Ungleichung (43) 

 bzw. (44). Wäre wieder, für zwei verschiedene Werte z=a und z = b, der eine der obigen 



Quotienten von einem gewissen Wert r ab kleiner als g — «(*>0). ^^" würde ein Widerspruch 

 mit der Ungleichung (33) entstehen. 



Ebenso leicht beweist man: 



Wenn, unter den Bedingungen des vorhergehenden Satzes, 



hm sup /i (r, 2)< < 1 



für einen gewissen Wert z = a ist, so ist 



(49) lim inf h (r, z) ^ 1 — fc/ 



für jedes z^a . 



Wenn also insbesondere für einen gewissen Wert a 



l\mh{r,a) = 0, 



f — ♦ X 



$0 ist für jedes z^ a 



lim h (r, z)= 1. 



Aus diesem Satz folgt insbesondere: 



Es sei fix) eine ganze Funktion von positiver Wachstumsordnung, die für einen gewissen 

 Wert z = a der Bedingung 



(50) . limsup^*^J^^^0<l 



>• — ^ CO \ ' / / 



genügt. Dann ist für jedes z^ a 



(51) l^^limsup^f^>l-<9. 



Tom. L. 



