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Aus der Voraussetzung folgt zunächst, dass ein fc ^ existiert, wofür das Integral 



00 ao 



['°€_^rf,, „nd als., nucl. f "^;{^ dr 



divergent ist. Wegen (50) ist dann auch lim sup /i(c, (t) < W. Die Voraussetzungen des vor- 



hergehenden Satzes sind also erfüllt, und die Behauptung folgt nunmehr aus (49) und (47).') 

 Ferner gilt der Satz: 

 Wenn f(x) eine ganze Funktion positiver Wachstumsordnung ist, die der Bedingung 



genügt, so ist 



,. N(r, f— 2) ^ , ^. 



iim sup jfT-^- — TT > 1 — W 



für jedes z =2^ a. 



Dieser Satz kann unmittelbar auf den vorhergehenden zurückgeführt werden; am Ein- 

 fachsten folgt er aus der Ungleichung (46). 



Ein jeder der obigen Sätze gibt auch Aufschluss über das Verhalten der Quotienten 

 " ( f '~\ ^ür verschiedene Werte Sj und z^. So folgt z.B. aus dem letzten Satz, dass wenn 

 bei einer ganzen Funktion positiver Wachstumsordnung 



— H-7 — TT-^O fur r — 00, 



so existiert für jedes noch so kleine «>0 und jedes z eine Zahlenfolge n (i' = l,2,---; 

 r^ — 00 für j' -> 00) derart, dass die Ungleichung 



w (r,, / ~ 3) >(1 — «) n {r, ,f — b) 



für sämtliche i'= 1, 2, • • • besteht. Ergebnisse von solcher Schärfe sind unseres Wissens auch 

 innerhalb der Theorie der ganzen Funktionen endlicher Ordnung nicht früher bekannt. 



Wir wollen noch die Genauigkeit der obigen Resultate an einem einfachen Beispiele 

 prüfen. Für die Funktion e^*", wo fc eine positive ganze Zahl ist, ist wie man leicht findet 



*) Man bemerke, dass jeder Satz über das asymptotische Verhalten des Quotienten . wegen der 



m (r. f) 



jENSENSchen Formel 



m {r.f-z) = C H- m ir, fZT^j + N (r, f- z) + n^ (f - z) log 1 



mir —) 

 Aufschluss über das Verhalten des Quotienten — — 7^\ — f""" >■ — • °° g'bt- ''> ist nämlich lim — ' ,.-. —' 



Ing r 

 und also, wenn — r — ït -♦ für ?• -» oo , d.h. wenn f(x) nicht ein Polynom ist, 

 ' m(r,f) ' ^ ' •' 



lim 



'Tv-J , ^^('■■/'-') _i 



•ml 

 in (r, f) ' m (r, f) 



]S:o 6. 



