24 RolfNevanlinn 



m (r, e^) = — • 



Ferner ist e'^'^éo und a]80 IV(r,e^*) = o. Nach der Ungleichung (51) muss daher 



für jedes endliche z:^0 sein. Aus dieser Bedingung schliesst man weiter, dass die Un- 

 gleichung 



(a) n (r, e'*- ^) >(i - i) ^ r\ 



wo i:>0, für eine unendliche Folge von unbeschränkt wachsenden Werten r bestehen muss. 

 Nun ist tatsächlich, wie man unmittelbar einsieht, 



für jedes z^O; der Faktor ^ auf der rechten Seite der Ungleichung (a) kann also nicht 

 vergrössert werden. Mittels früher bekannter Sätze über ganze Punktionen ganzzahliger Ord- 

 nung hätte man im vorliegenden Falle nur schliessen können, dass n(r,e-''''- z) für jedes z^O 

 dem Normaltypus der Ordnung r* angehören muss.') 

 Für die Funktion 7^- fmdet man: 



I {X) 



und also hm -^——L = o, Nach unserem Satze ist also 

 1- -»00 / J \ 



iv(r,^-^) 

 lim sup -—i- — .-— = 1 



"'V' T) 

 für jedes 09^0. Man schliesst also dass die Ungleichung 



n(r.l-.)>(l-.)'l^ 



für z^O auf unendlich vielen, beliebig grossen Kreisen \x\ = r bestehen muss; der Faktor - 

 kann auch hier nicht vergrössert werden. 



15. Die Gruudungleichung (27) führt, auch wenn f{x) nicht eine ganze Funktion, sondern 

 nur innerhalb eines endlichen Kreises regulär ist, zu einigen Sätzen über den Wertvorrat 

 dieser Funktion iu der Nähe der Kreisperipherie, welche den oben bewiesenen analog sind. 

 Das Verfahren, dessen wir uns hierbei bedienen werden, ist ebenfalls dem oben benutzten 

 ähnlich, weshalb wir uns im Folgenden kürzer fassen können. 



Wir nehmen an, f{x) sei z.B. innerhalb des Binheitskreises eindeutig und regulär; die 

 Hauptungleichuug (27) ist also jetzt für < r < ? <^ 1 gültig. Wir multiplizieren beide Seiten 

 mit (l — ry-^dr, wo fc>0, und integrieren von r^Qo>l bis r = p' (eo^?'<l) indem wir 



') Vgl. E. Lindblöf: Sur les fonctions entières d'ordre entier (Ann. Éc. Norm. (3), XXII, 1905, insb. S. 386). 



Tom. L. 



