26 RolfNevanlinna. 



Wenn f (,t) eine im Einheitskreise reguläre analytische Funktion ist, und a und h (a^b) I 



zwei gegebene endliche Zahlen bezeichnen, so gibt es für "o < 1 "*if? fc > zwei Konstanten C^ 

 und C 2 derart, dass 1 



f ? * 



(65) I m (r, /) (1 - r)" -'drKC^ + C^j [N (r, / - a) + JV (r, / - b)] dr 



für jedes Qo"^ Q <i ^ ist. 



Wenn das linksstehende Integral für o = l diver qent ist, so gilt 



(56) j m (r, /) (1 - r)" - 1 dr < (l + « (f-,.) ) J i^' ('% / - «) + iV (r, / - b)] di 



16. Als Korollar können wir folgenden Hatz aussprecheji: 

 Wenn, für ein gewisses fc > 0, die Reihe 



t 



(57) ^{l~r.iz)y + ' 



1 



/lir zu'ei verschiedene Werte z kmivergiert, so sind auch die Lntegrale 



I I 



(58) 1 m (r, / ) (1 - r)* " ' dr und 1 log M (r) (1 - r)* de 



konvergent, und es ist 



(59) lim (1 - r)'' m (r, /) = 0, lim (1 - rf + 1 log M (r) = . 



r ^ 1 ,=1 



Durch partielle Integration ergibt sich nämlich 



/jV(r,/)(l-r)'->dr^(^-^°^'^^(^'-^^^^^- ^'-^"'y'-^--' 



fc 



+ ^ j (n (r, / - ^) - n„ (/ - a)) (1 - r)* ^J" , 

 und weiter 



/.(^/--.)(i--o-dr^^^-^°q-^/i^^^>- <'-^^^;';/^'^--> +,-^ 2 (i-n(.)r- 



woraus man, wie auf S. 18, schliesst, dass die Integrale 



1 1 



(60) j Nir,f~z)(l-ry-^dr, j n{r,f - z)(l- rf dr 



und die Reihe (57) gleichzeitig konvergent oder divergent sind. Aus der Voraussetzung folgt 

 also, dass das erste der Integrale (60) für zwei verschiedene Werte z konvergent ist. Wegen 

 der Ungleichung (55) muss dann aber auch das erste der Integrale (58) konvergieren. Bezeichnet 

 nun t eine beliebig kleine positive Zahl, so ist folglich 



Tom. L 



