l^ntersucliinigcii, aber den l'icarcrschen Satz. 27 



1 .1 



* > [m ((, /) (1 ^ 0' 'dt^ m (r, /) j (1 - 0* ~'dt = ^IjUÈ^^ 



woraus die erste der Beziehungen (59) folgt. Der deu Maximalmodiil M(r) betreffende Teil 

 der Behauptung ergibt sich dann unmittelbar durch Anwendung der Ungleichung (39) (S. 19), 

 wenn man dort q = -^ ' setzt. 



17. Wir bringen wieder die oben hergeleiteten Ungleichungen in Verbindung mit der 



jENSENSChen Ungleichung (vgl. S. 21): 



-I- 1 

 m (r, /) > C + iV (r, f - z) - p log ^. 



und 



I mir,f){l~ry-^dr>C'+ j N{r,f~z)il-ry ^ dr; 



Od P» 



die letzte Beziehung ergibt sich aus der JENSENSchen durch Multiplikation mit (1 — r)' "'cZr 

 (fc > 0) und Integration. Man gelangt so zu folgendem Satz: 



Wenn /(.r) eine innerhalb des Einheitskreises eindeutige, reguläre analytische Funktion ist, 

 und a, b {a^ b) und z beliebige komplexe Zahlen bezeichnen, so existieren für jedes fc > und 

 Co < 1 zwei Konstariten C^ und C^ von der Art, dass die Ungleichung 



(61) j N{r,f-s){l~ ry ' i dr <C,+C^j [N (r, f - a) + N (r, f^b)]{l - *•)'■ ' dr 



?» Co 



für Po < Ç < 1 besteht. 



Wenn das linksstehende Integral für ? -♦ 1 unbeschränkt wächst, so gilt insbesondere 



(61)' JN{r, / - s) (1 - ry--^dr< (l + ^{^^)) j [N {r, f - a) + N (r, / - b)] (1 - ry-' dr. 



Po ?o 



Aus der Beziehung (61) schliessen wir, dass die Integrale (60) für jedes endliche z kon- 

 vergieren müssen, sobald dies für zivei Werte z gilt. Bemerkt man dass die besagten Integrale 

 und die Reihe (57) gleichzeitig konvergent oder divergent sind, so kann man dieses Ergebnis 

 in folgender Weise aussprechen: 



Wenn, für ein geivisses fe > 0, die Reihe 



OD 



(62) ^{l-rM''" 



für einen Wert z divergent ist, so ist 'sie für alle Werte z, ausser möglicherweise einem einzigen, 

 divergent. 



Mittels der Beziehungen (61) und (61)' beweist mau auch die folgenden Sätze über das 

 Verhalten des Quotienten 



h{r,z)= f N{t,f^z)il-ty-'dt:jm{t,f)il-ty 'dt. 

 N:o 6. 



