28 RolfNevanlinna. 



Wenn das Integral 



1 



1 m(r, /)(1 — rf-^dr 



divergent ist, so gelten die Ungleichungen 



^ < lim sup h (r, s) ^ 1 



für jedes endliche z, ausser möglicherweise einem einzigen Wert, für welchen lim sup h (r, s) < g 

 sein kann. 



Ferner gilt: 



Unter der Bedingung des vorigen Satzes sei für einen gewissen Wert z = a 



lim sup h {r, z) ^ <- 1 . 



Dann gilt die Bedingung 



üm.h\thir,z)>l~^0 



r= 1 



für jedes z^a. 



Wenn insbesondere \[mh{r,a) — ist, so besteht die Beziehung 



y - 1 



lim h (r, s) = 1 



'■ = ' 

 für jedes z ^ a. 



Man sieht ebenfalls unmittelbar ein dass sämtliche durch die Sätze auf S. 22-23 ausge- 

 drückten asymptotischen Eigenschaften der Funktionen N (r, / — s) und n (r, / - z) auch im vor- 

 liegenden Falle bestehen, unter der Annahme, dass die Beziehung 



lim m (r, /) (1 - ry = 



nicht für alle fc > ü besteht, oder, was damit gleichbedeutend ist, dass ein fe > existiert, wofür 

 die Integrale (58) divergent sind. 



18. Durch konforme Abbildung kann man die zuletzt bewiesenen Sätze auf den allge- 

 meinen Fall übertragen, wo / {x) innerhalb eines beliebigen, einfach zusammenhängenden Gebietes 

 G regulär ist. Wir wollen dies nur in dem besonderen Fall durchführen, wo G ein Winkel- 

 gebiet ist. Man gelangt so zu folgender Verallgemeinerung des Satzes der Nummer 11: 



Sei f (x) eine innerhalb des durch die Ungleichung \(p\ <C^ definierten Winkelqebietes G 

 eindeutige und reguläre analyliscJie Funktion der komplexen Variable x^re'". Seien ferner 

 r„{z) (n=l,2,---) die absoluten Beträge der Nullstellen von f{x) — z innerhalb G und M (r, 0) 



gleich dem Maximu^n von f x auf dem Kreisbogen ^.x\ = r,\<f\<^.y-^. 

 Wenn dann, für ein gewisses k > «, die Beihe 



2^\r^)) 

 v = \ 



für zwei verschiedene Werte s = a und z = b konvergent ist, so konvergiert das Integral 



Tom. L. 



