JJ ntersuchunqen über den Picard' schen Satz. 29 



(63) rii^j'\''*)dr 



für jedes ^ '> a. 



Durch die Variabelsubstitution x' = x"- lässt sich dieser Satz sogleich auf den Fall « = 1 

 zurückführen, wo also G die Halbebene der positiven reellen Teile ist. Zum Beweise bilden 

 wir diese Halbebene durch die 'i'ransformation 



'&■ 



x-\ \+è 





auf den Einheitskreis |5j^l konform ab. Wegen der Ungleichung 



; r — 1 I '> 



1 - 1 5 1 = 1 _ h^ < 





+ 1 I =- I X + 1 I 



schliessen wir dass die Reihe 



£(1- 11.(2) l)\ 

 1/= 1 



wo ?v(s) die Bildpunkte der Nullstellen von f{x) — z, d.h. die Nullstellen der Punktion 

 f(x(S)) — 2 bezeichnen, für z = a und s = b konvergent ist. Wir können also den Satz der 

 Nummer 16 auf die Funktion /(x(i')) = /(Ï) anwenden und schliessen, dass das Integral 



(64) J]ogM{r){l-(>y-'dQ, 



Co 



wo M (o) = max |/(*) j, konvergent ist. 



Die Bildkurve des Kreises ï|==o in der :(-Ebene ist ein Kreis C,., dessen Gleichung 

 "—r = p ist . Es sei r die grössere der Abszissen der Schnittpimkte dieses Kreises und der 



r— 1 '1 "^ dr 1 d r 



eellen Achse; dann ist ? = — -j und also 1 — ? = ,7^ > ^ » ^^ ^ (TTU- ^^ r^" ^^^ •i^'" 

 Konvergenz des Integrals (64) folgt somit dass auch das Integral 



CO 



wo M (r) gleich dem Maximum von ff(x) auf dem oben betrachteten Kreis 6',. ist, konver- 

 gieren muss. 



Nunmehr ergibt sich leicht, dass auch das Integral (63) für jedes -^^ > 1 konvergent ist. 



Sei in der Tat ^ eine beliebige Zahl >1, und < (^ < 1 eine Zahl, wofür arc cos 6» > .=," - 

 Wir bestimmen dann die Schnittpunkte zwischen den Kreisen C,- und \x\ = (->r\ den Arcus 

 des von diesen Punkten begrenzten Bogens des letztgenannten Kreises bezeichnen wir mit w (r) . 

 Eine leichte Rechnung zeigt, dass hm w (r) = 2 arc cos . Hieraus folgt dass der Bogen 



x\= 0r, t Vi <<rl "^ori einem gewissen i- ab innerhalb des Kreises C,- liegt, und dass folglich 

 die Ungleichung MC^r, ^) < M(r) von demselben Wert r ab besteht. Es ist also auch 



N:o 6. 



