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 woraus die behauptete Konvergenz des Integrals (63) folgt, i) 



19. Die oben erzielten Resultate können kurz dahin zusammengefasst werden, dass, bei 

 ausgedehnten Funktionenklassen, die Kenntnis der Verteilung der Wurzeln der Gleichung 

 f{x) = z für zwei verschiedene Werte z sowohl die Dichte der Wurzeln für ein beliebiges z 

 wie das Anwachsen der Funktion mit erhebhcher Genauigkeit bestimmt; ist die Wurzeldichte 

 insbesondere für einen Wert s = a exzeptionell klein, so treten die ^-Stellen für sämthche z^a 

 mit einer dem Anwachsen der Punktion entsprechenden Dichte auf. Im Falle einer gayizen 

 Funktion wurden derartige Erscheinungen zuerst von Borel entdeckt, der folgenden Satz 

 bewiesen hat: Bei einer ganzen Funktion sind die Ordnungen der Funktionen log M (r) und 

 n{r,f-'Z) einander gleich für jedes endliche z, ausser möglicherweise für einen einzigen Wert. 

 Der spezielle PiCARDSChe Ratz, nach welchem eine ganze Funktion höchstens einen Ausnahme- 

 werl besitzt, gilt also unverändert, wenn unter einem Ausnahmewert ein Wert z verstanden 

 wird, wofür n(r, / — z) von niedrigerer Ordnung als logM(r) ist. 



Ist die ganze Funktion von endlicher Ordnung, so kann noch hinzugefügt werden, dass 

 der PicARD-BoRELSche Ausnahmefall nur für ganzzahlige Ordnungen eintreffen kann: die 

 Funktionen von endlicher, nicht ganzzahliger Ordnung haben überhaupt keine Ausnahmewerte 

 im Sinne Borels. Ein entsprechendes Ergebnis gilt, wenn der verallgemeinerte Ordnungs- 

 begriff von LiNDELÖF eingeführt wird. Durch Heranziehung der PRiNGSHEiMSchen Begriffe 

 der Minimal-, Normal-, und Maximaltypen einer gegebenen endlichen Ordnung hat Lindelöf^) 

 auch eine Verschärfung des BoRELSchen Satzes über Funktionen ganzzahhger Ordnung gegeben: 

 er hat gezeigt, dass der PicARosche Satz in der oben gegebeneu Fassung auch dann besteht, 

 wenn folgende Erklärung gegeben wird: z heisst ein Ausnahme wert, falls n{r,f — z) von nied- 

 rigerem Typus als log i¥(r) ist. Neuerdings hat Valiron folgendes bemerkenswerte Ergebnis 

 gefunden: Wenn, für ein gewisses fc>0, das Integral 



*) Aus dem obigen Beweise geht hervor, dass die Beziehung 

 (a) lim r-*'log7'(»-e''*')[=0 



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für jedes &>«, und ! ip |< ^ gilt. Früher hat Valtron die Relation (a) für fc>3(Y bewiesen (vgl. die 

 S. 3 unter l)a) zitierte Arbeit, p. 252), und zwar unter der spezielleren Annahme, dass f(x) in dem Winkel 

 I |< JL zwei Werte z nur in einer endlichen Anzahl von Punkten annimmt. Die von uns gefundene 

 Schranke (*:>«) ist genau; die Beziehung a) besteht nicht mehr für k=a. Die Exponentialfunktion e 

 genügt nämlich in der Halbebene 1 ?) |< | der Voraussetzung unseres Satzes (sie ist ja nach unten be- 

 schränkt); die Formel (a) besteht aber für diese Funktion nicht mehr für k = a=l. 



-) E. Lindelöf: Sur les fondions entières d'ordre entier (Ann. Éc. Norm. (3), XXII, 1905, p. 369—395). Vgl. 

 auch A. V^iman: Sur le cas d'exception dans la théorie des fonctions entières (Arkiv f. mat., astr. och fysik, I. 

 1903, p. 327—345). 



Tom. L. 



