v niersHchnngen über chu Picard' schen Satz. 31 



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log iy(r), 

 ,'■+1 "^ 



divergent ist, so divergiert aucli das Integral 



J ,. + 1 ^' 



für jedes z ausser möglicherweise für einen einzigen Wert.*) Hier gilt wieder der Zusatz, 

 dass der Ausnahmefall (Ivonvergenz des letzten Integrals) nur bei ganzzahligen Ordnungen 

 vorkommen kann. ^) 



In der Theorie der ganzen Funktionen tmendlicJier Ordnung sind die BoRELSchen Ideen 

 insbesondere von Blumenthal ») und Valiron weiter entwickelt worden. Es ist ein Verdienst 

 "V ALIRONS sich von dem Begriff der Ordnungstypen befreit und direkte Beziehungen zwischen 

 den zu untersuchenden Grössen logM(f) und N{r^f- s) bzw. n{r,f — z) aufgestellt zu haben. 

 So hat er neuerdings einige Sätze über das asymptotische Verhalten der Quotienten 



log N(r,f-z) , log w ()•,/-- 2) 



log,itf(r) " • logjitfln 



gefunden, die wesentlich schärfer sind als die früheren Ergebnisse.^) 



In der vorstehenden Untersuchung haben wir die Fundamentalgrösse logM(r) durch 

 den Mittelwert 711 {rj) ersetzt und sind so zu einigen Sätzen gelangt, die schon ziemhch feine 

 Verschiedenheiten in den Dichten der s-Stellen einer ganzen Funktion hervortreten lassen. 

 ü. a. ist hervorgegangen, dass die Ungleichung 



(65) hm sup / .' < 



höchstens für emen endlichen Wert z bestehen kann, ein Ergebnis, das für beliebige ganze 

 Funktionen gilt. Diesen Satz haben wir oben zwar nur für Funktionen von positiver Wachs- 

 tumsordnung bewiesen; für Funktionen nullter Ordnung gilt er aber sogar in verschärfter Form. 

 Aus einem Satze von Littlkwood ^) folgt nämlich, dass die Beziehung 



(65)' lim sup ^^^~ =1 



bei den Funktionen nullter Ordnung für jedes endliche z besteht; bei den Polynomen ist ja sogar 



liHl^^) = l 



Mittels eines bekannten Satzes«) von Wiman lässt sich schliessen, dass die Gleichung (65)' 



') C. R., 18 avril 1922. Dieses Ergebnis ist in dem in der Nummer 11 bewiesenen Satze enthalten. 

 *) G. Valiron: Sur les fonctions entières d'ordre fini iBuU des se. math., 2'' série, t. XLV, 1921, p. 1-13). 

 ■■"l O. Blumbnthal: Principes de la théorie des fonctions entières d'ordre infini (Paris, Gauthier Villars, 1910). 

 *) Vgl. die in der Fussnote 1, f) (S. 3) zitierte Arbeit. 



') J. E. Littlewoob; On the asymptotic approximation of integral functions of zéro order (Proc. London 

 Math. Soc, 2e serie, t. V, 1907, p. 361-410). 



") A. Wiman: Sur une extension d'un théorème de M. Hadamard ^Arkiv f. mat., astr. och fys.. II, 190.5. p. 14) 



N:o fi. 



