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allgemeiner bei allen Funktionen einer Ordnung < fc < ,, für jedes endliche z richtig ist. 

 Für eine solche Funktion besteht nämlich nach Wiman die Ungleichung 



\f{x)\>e'-''-' 



auf unendlich vielen, beliebig grossen Kreisen x'=r. Demnach ist für jedes z 



lim inf m (»-, ;r:; ] = ^i woraus die Behauptung durch Anwendung des JENSENSchen Satzes 



unmittelbar folgt (vgl. die Pussnote S. 23). Für heliehige ganze Funktionen gilt die Gleichung 

 (65)' nicht mehr allgemein; oben (S. 23) wurde aber gezeigt, dass falls ein Ausnahmewert z 

 existieit, wofür 



lim^^:^> = 0,= 



die genannte Gleichung fü)' alle übrigen Werte z bestehen muss. 



Bei welchen ganzen Funktionen kann nun der durch die Tîngleichung (65) charaktei isierte 

 Ausnahmefall tatsächlich vorkommen? Dass solche Ausnahmewerte bei unendlichen und end- 

 lichen, ganzzahligen Ordnungen existieren können, ist klar; bei Ordnungen < ., sind sie da- 

 gegen, wie wir soeben gesehen haben, nicht möglich. Es ist aber eine bemerkenswerte Tatsache, 

 dass der Picard'sche Ausnahmefall auch hei Funktionen von endlicher nicht ganzzahliger Ordnung 

 eintreffen kann, wenn nur hinreichend feine Verschiedenheiten in den Dichten der s-Stellen 

 berücksichtigt werden, und der Begriff des Ausnahmewertes hinreichend scharf definiert wird. 

 Ein Beispiel von dieser Art hat Wiman angegeben (vgl. die in der Fussnote S. 30 zitierte 

 Arbeit, S. 341). Die ganze Funktion 





1 

 wo a,= i'*' und p<fc<3) + l, genügt nach Wiman für jedes z=£0 der Bedingung 



v n(r.'f) smnik — p) j... ^i ^ ,1 



lim — l \ = — r-^ — ,7-^- fur p < fc < î> -I- ,, 1 



,.^^ri,\r,f-z) p-^sm.M(k-p) ^ ^2 



lim «^'•'^' 



n(r,f-z) 



sin it(k - p) f.. , J ^ ;. ^ ,1 



= ITf ™^ p + ^^k-Cp + 1, 



wonach die Wurzeln der Gleichung f — z= für = mit exzeptionell kleiner Dichte auftreten. 

 Wir werden zeigen, dass, bei derselben Funktion, der Wert z = auch im Sinne unserer 

 allgemeinen Definition (65) für hinreichend grosse Werte fc ein Ausnahmeicert ist. Nach Lin- 

 DELÖpi) gilt die asymptotische Darstellung 



ST X 



f üi' — st + Ô <^ arg a; < ^ — d (d > 0) ; es ist demnach 



') E. LiNDELÜF: Memoire sur la théorie des fonctions entières de genre fini (Acta Soc. se. Fenn.. T. 31. 1902, 

 vgl. p. 53). 



Tom. L. 



