und also 



Untersuchungen über dm. I 'icard'fsrhan Sulz. 33 



m(r,/)~., . — r, > Icoskcpdif, 



wobei das Integral über diejenigen Intervalle zu erstrecken ist, wo C08fcy>0 oder < 0. 

 je nachdem p gerade oder ungerade ist. Man findet so: 



m{r,f) 



ks\nn(k—p) f ^ t i 



•^-^ — r" für p + J<ifc<p + l. 



, fc sin jT (A; — p) ^ 2 



Ferner ist »(r, /)~r*, und also N{r,f)~ . . Demnach wird 



f lim ^''-^' = ^'^i^^-^) - für 1) < fc < ü + ^ 

 |lim^J':^ = «'^^?^ für p + i<fc<p + l. 

 Aus dem asymptotischen Ausdruck der betrachteten Funktion folgt ferner unmittelbar, dass 



m[r,j—] 



lim -V^r- = 

 für jedes z^O ist, und also nach der JENSENSchen Formel (vgl. die Pussnote S. 23) 



lim^^f) = l, 

 r=« »nr,f) 



in Übereinstimmung mit den von Wiman angegebenen Beziehungen. 



Man sieht, dass der Grenzwert (66), dem oben gefundenen Ergebnis entsprechend, konstant 



11 5 



gleich Eins ist, wenn die Ordnung h<^ ist; für fc > ,5 wird er < 1 und sinkt für fc > g unter 



die Grenze .^ (für k = ^ wird der Wert ^ noch einmal erreicht). Für ganzzahlige fc nimmt 

 er den Wert Null an und erreicht zwischen zwei aufeinander folgenden ganzen Zahlen p und 

 p + 1 für fe = p + .^ ein Maximum — ^, das also für fe -♦ 00 gegen Null strebt. Der Wert 



5 / 3\ 



2 = ist demnach für jedes fe > ^ (ausser fc = 0) ein Ausnahmeiverl im Sinne der Definition (65). 



Nachdem hierdurch gezeigt worden ist, dass der Ausnahmefall (65) auch bei nicht ganz- 

 zahligen Ordnungen eintreffen kann, scheint eine wichtige Frage zu sein, wie »starke» Aus- 

 nahmewerte hier vorkommen können. Ist es z. B. möglich, dass bei einer nicht ganzzahligen 

 Ordnung die Beziehung 



für irgendeinen Wert besteht. Die bisher bekannten Abschätzungen der kanonischen Pro- 

 dukte scheinen zur Entscheidung dieser Frage nicht hinreichend genau zu sein. Einiges 

 spricht für die Annahme, dass die genaue Grenze in den Gleichungen (66) enthalten sei, d. h. dass 



N:o 6. 5 



