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(66)- J±''"P'^?f 



bei einer gegebenen Ordnung fe überhaupt nicht kleiner als der dort angegebene Wert sein könnte. 



Wir möchten noch auf ein anderes interessantes Problem aufmerksam machen. Es ist 

 uns nicht gelungen, einen einzigen Fall anzugeben, wo die obere Grenze (66)' für zwei ver- 

 schiedene Werte s kleiner als Eins wäre. vSo gilt die Beziehung (65)' z. B. bei der soeben 

 untersuchten ganzen Funktion für jedes s^O. Sollte sich hierin eine allgemeingültige Eigen- 

 schaft der ganzen Funktionen zeigen? Wenn dem so wäre, würde der PiCARDSche Satz eine 

 besonders elegante Fassung erhalten. 



Die Hauptungleichung (27) kann zur Lösung dieses Problems vielleicht einige Beiträge 

 liefern. Man bemerke dass wir bei Herleitung unserer Sätze auf S. 22-24, von denen soeben 

 die Rede gewesen ist, die eventuelle Bedeutung dos von den Nullstellen der Ableitung f{x) her- 

 rührenden Gliedes N(r,f') nicht berüksichtigt haben; unter Umständen ist dieses Ghed aber 

 von derselben Grössenordnung wie die Hauptglieder m{r,f), N(r,f — a) und N(r,f — h) (dies 

 ist z. B. bei der oben betrachteten ganzen Funktion der Fall) und darf also nicht vernach- 

 lässigt werden, wenn mau die schärfsten Konsequenzen aus der Hauptungleichung ziehen will. 



20. Wie verhält sich nun eine Funktion, die nur innerhalb eines endlichen Kreises regulär 

 ist, in den oben betrachteten Hinsichten? Dass eine im Einheitskreise reguläre analytische 

 Funktion sämtliche endliche Werte, ausser möglicherweise einem einzigen, annehmen muss, wenn 

 ihr Anwachsen bei Annäherung an den Rand hinreichend stark ist, ergab sich schon im 

 Zusammenhang mit den Beweisen des speziellen PicARoschen Satzes. So hat Schottky^) 

 mittels »elementarer» Methoden bewiesen, dass eine von zwei Werten a und b (a^b) ver- 

 schiedene Funktion der Ungleichung log | / (a;) | < C (1 — r) ^ ^ für j x | <; r < 1 genügt; Landau ^) 

 hat mit Hilfe der Modulfunktion die genaue Schranke 



log|/(a=)|<i5, 



gegeben, wo C von r unabhängig ist. Definiert man die Ordnung einer im Einheitskreise regu- 

 lären Funktion, in Analogie mit der Definition des entsprechenden Begriffes bei ganzen Funk- 

 tionen, als die untere Grenze derjenigen Zahlen fc, für welche das Integral 



|logM(r)(l-r)*-idr 



konvergent ist, so folgt aus dem LANDAUSchen Ergebnis, dass jede Funktion, deren Ordnung 

 im Einheitskreise > 1 ist, jeden Wert, ausser höchstens einem einzigen, annehmen muss. 

 Durch unsere Resultate ist nun hervorgegangen, dass die Ordnungen der Punktionen m(r,f) 



') F. SCHOTTKY: Über den Picard' sehen Satz und die Bwel'sràen Ungleichungen (Sitz, ber, der Akad. d. Wiss. 

 Berlin, 1904, S, 1244-63). 



'') H. Bohr und E. Landau: Über das Verhalten von Sd) in der Nähe der Geraden a= 1 (Gött. Nachr.. 1910. 

 p. 303-330). 



Tom. L. 



