Untersuchungen über den t'icard'schen Salz. 36 



und N(r,f — 8), bei derselben Finiktioiienklasse, einander gleich sind für alle endliche 2, 

 ausser möglicherweise einem einzigen Wert, und dass auch die oben besprocheneu genaueren 

 Beziehungen zwischen den Grössen N{r,f-2) und m{r,f) innerhalb dieser Funktionenklasse 

 ihre Gültigkeit beibehalten. Derartige Eigenschaften waren bisher nur für Funktionen unend- 

 licher Ordnung durch die Untersuchungen Valibonsi) bekannt. 



Charakterisiert man das Anwachsen einer Funktion in ihroin Konvergenzkreise nicht 

 genauer als durch den oben eingeführten Orduungsbegriff, so kann man sagen, dass wir 

 auch die wahre Gültigkeitsgrenze unserer Sätze gefunden haben: diese bestehen nicht mehr 

 ausnahmslos für die Funktionen der Ordnung Eins. So hat man in der Modulfunktion ein 

 Beispiel einer Funktion erster Ordnung, die zwei Werte (ü und 1) überhaupt nicht an- 

 nimmt. Es gibt sogar Funktionen erster Ordnung, welche nach unten beschrankt sind, wie 



z.B. e'---, die für |x|< 1 keinen Wert des Kreises \z\<l annimmt. Andererseits schhesst 

 man aus der obigen LANOAUschen Ungleichung, dass diejenigen Funktionen erster Ordnung, 

 für welche 



(67) lim sup (1 — r) log M (r) = 00 



ist, jeden Wert, ausser höchstens einem einzigen, annehmen müssen. Es wäre nun interessant 

 zu wissen, ob dieselben Funktionen auch die oben besprochenen spezielleren Eigenschaften 

 aufweisen, ob also, kurz gesagt, die Dichte ihrer s-Stellen für jedes 2, ausser möglicherweise 

 einem einzigen Wert, eine dem Anwachsen der Funktion entsprechende ist. Die Genauigkeit 

 unserer obeugebenen Ungleichungen scheint nicht zur vollständigen Entscheidung dieser Frage 

 auszureichen. Einiges lässt sich indessen mittels unserer Ergebnisse auch über die Funk- 

 tionen erster Ordnung sagen. Aus der Ungleichung (40) (S. 19) folgt, dass jede Funktion, 

 für welche 



(68) hm sup -"^'-Û 



ist, der Bedingung 



1 "^-log(l-r) 



hm sup , ' , — -X = 00 



,.-1 *^-log(l-r) 



für jedes z, ausser höchstens einem Wert, genügen muss. Nimmt man nämlich an, es existieren 

 zwei Werte a,b (a^^h) und eine endhche Konstante C derart, dass 



iV (e,/ - fl) + A' ((.,/- ö)< Clog j^^ 



für Ç < 1 ist, so schhesst man mittels der Beziehung (40), wenn mau q = -j^ setzt, dass auch 



(69) m(r,/)<Clogj^, 



wo C von r unabhängig ist; hiermit ist die Behauptung bewiesen. Nun kann man mittels 

 der zwischen den Grössen M{r) und m{r,f) bestehenden Beziehung (39) schUessen, dass die 

 Bedingung (68) sicher erfüllt ist, falls 



') Vgl. die S. 3 unter 1) e) zitierte Note. 

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