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(1 -r)logM(r) _ 



(70) lim sup 



log!l - r) 



ist; diese letzte Bediuguiig kommt schon der LANDAUscheu Grenze (67) nahe. 



Die Vergleichung der Bedingungen (67) und (70) könnte die Vermutung nahelegen, dass 

 die rechte Seite von (69) mit einer Konstante ersetzt werden könnte, d.h. dass m(r, /) für 

 r < 1 beschränkt wäre, falls / (.r) zwei Ausnahmewerte (im PiCARDSchen Sinne) besässe. Dies 

 ist aber nicht der Fall, denn m(r, /) wächst z.B. bei der Modulfimktion für r -» 1 unbe- 

 schränkt. Zum Beweise dieser Behauptung genügt es wegen der jENSENSchen Ungleichung 



iV(f, / — s)< C + m(r,/) + plog- (vgl. S. 27) zu zeigen, dass es Werte s gibt, für welche 

 N {r,f — z) nicht beschränkt oder, was auf dasselbe herauskommt, für welche das Integral 



/• 



n{r,f — e) dr 



divergent ist. Nun sind aber dieses Integi'al und die Reihe 



(l-n(2)) 



1 



gleichzeitig konvergent oder divergent, und es ist also hinreichend, wenn man beweist, dass 

 diese letzte Reihe für mindestens einen Wert s divergent ist. In der Tat ist dies für jedes 

 endliche, von Null und Eins verschiedene s der Fall. Sei nämlich z eine behebige Zahl dieser 

 Art und Xq ein Punkt des Einheitskreises, wo die Modulfunktion diesen Wert z annimmt; 

 denselben Wert nimmt sie dann in allen denjenigen Punkten an, in welche der Punkt x = xo 

 durch die Substitutionen S{x) der Modulgruppe übergeführt wird. Es soll demnach die Diver- 

 genz der Reihe 

 (71) ^{ï^ Six,)\) 



nachgewiesen werden. Nun sieht man leicht ein, dass diese Reihe mit der PoiNCABÉschen Reihe 



'* — J-o 



gleichzeitig divergent oder konvergent ist. In der Tat ist der absolute Betrag des Quotienten 



S (x) - iS' (a;„) _ x — Xu 



da \S{x) = l für | a; | = 1 ist, auf der Peripherie des Einheitskreises konstaut gleich Eins, 

 Weil dieser Quotient für a;|<l regulär und von Null verschieden ist, so folgt aus dem 

 Prinzip des Maximalmoduls, dass sein absoluter Betrag auch im Innern des Einheitskreises 

 konstant gleich 1 ist. Für x = 3;o ergibt sich insbesondere 



l-|S(x„) 

 woraus, da iS(iKo)i<l, folgt: 



ii=ifS^s!gL.<rrTba-swi. 



Tom. Jj. 



