J'ntersvchnngen über di'-n l'icurd'sehen Satz. 37 



Die Reihen (71) und (72) sind demnach in bezug auf Divergenz und Konvergenz gleichwertig. 

 Nun weiss man aber nach dem RiT'i'ERSchen Satze i), dass die letztgenannte Reihe divergent 

 ist, womit unsere Behauptung nachgewiesen ist. 



Genauere Kenntnis der Art der Divergenz der PoiNCAKÉschen Reihe (72) würde uns auch 

 genauere Ausivunft über die Genauigk«'it der durch die Bedingung (69) ausgedrückten Gültig- 

 keitsgrenze unserer Sätze geben. 



Aus der obigen Betrachtung geht auch hervor, dass dei' auf S. 27 gegebene Satz über 

 die Reihe (62) scharf ist: er gilt nicht mehr für fc = 0. In diesem Falle gibt es nämlich, wie 

 wir soeben gesehen haben, Funktionen, für welche die Reihe (62) für zwei Werte z konvergent 

 ist. während sie für alle übrigen Wri'te divergiert. Hat wiederum k einen negativen Wert 

 (> - 1) so existieren sogar beschränkte Funktionen, für welche die Reihe (62) mindestens 

 für einen Wert s divergent ist. Um dies einzusehen wähle mau eine TMmktfolge x^=r,e'^' 

 (>' = 1, 2, • • •) von der Art, dass die Reihe Ï (1 - r,)' + ' divergent, die Reihe 1 (1 - r„) dagegen 



konvergent ist (man kann z. B »•„=1-^)^'^'' wählen). Das unendliche Produkt 



n 



e --- 



ist dann für jedes |a;| ^r< 1 gleichmässig konvergent und stellt eine im Einheitskreise 

 beschränkte Funktion der erwünschten Art dar. 



Die oben betrachteten Beispiele weisen auch darauf hin, dass die Dichte der s-Stellen 

 einer analytischen Funktion sich genauer in dem Verhalten des Mittelwertes «(-(r,/) als des 

 Maximalmoduls log il/ (r) wiederspiegelt, was ja auch wegen der JENSENSchen Identität zu 



erwarten ist. Durch blossen Vergleich der Maximalmodulu der Funktion e'"'' und der Mo- 

 dulfunktidu, die beide dem »Normallypus» der Ordnung Eins angehören, könnte man bezüglich 

 der 3-Stellendichten dieser Punktionen keine grosse Verschiedenheiten erwarten. Tatsächlich 

 treten aber ihre ^-Stellen mit wesentlich verschiedeneu Dichten auf: bei der Modulfunktion 

 ist die Reihe (62), wo fe = 0, für alle endliche Werte z, ausser 0=0 und s=l, divergent, 



während sie bei der Funktion e'^\ wie man leicht einsieht, für alle Wefte z konvergent ist. 

 Dementsprechend weisen nun die betreffenden Mittelwerte m{:r,f) ein verschiedenes Verhalten 

 auf: bei jener Funktion wächst er für r -» 1 unbeschränkt, während er bei dieser für r < 1 

 beschränkt ist. Diese letzte Funktion genügt nämlich in dem Einheitskreise der Ungleichung 



+ 

 / (a;) I > 1 , wonach log i / 1 = log | / j , und also 



2t 



«i0-,/)=3^/logi/(re»^)'d^. 

 

 Nach dem GAUSsscheu Mittelwertsatze ist aber das letzte Integral konstaut gleich log / (0) | = 1 . 



>) Ritter: Die eindeutii/en automorphen Funktionen vom Oeschleehte Null, eine Revision und Erweiterung 

 der Foincareschen Sätze (Math. Ann., B. 41, 1892). Ein allgemeingültiger Beweis des Ritterschen Satzes 

 wurde von P. J. Myrberg gegeben, vgl.: Zur Theorie der Konvergenz der Poinrnréschen Reihen (zweite Ab- 

 handlung) (Ann. Acad. .Scient. Fennicae. Serie A, T. XI, N:o 4, 1917). 

 N:<) (). 



