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IV. Erweiterung der Hauptungleichung (27). 



21. Unter der Annahme, f{x) sei eine innerhalb eines Kreises |a;|<ß^oo eindeutige, 

 reguläre analytische Funktion, haben wir in dem vorhergehenden Abschnitt die grundlegende 

 Beziehung (27) hergeleitet und von hier aus eine Reihe von Sätzen über den Wertvorrat von 

 fix) in der Umgebung der Punkte jx =/? bewiesen. In diesem Abschnitt werden wir zeigen, 

 dass die genannte Beziehung fast unverändert gilt, falls' /(a-) die angegebenen Eigenschaften 

 nur innerhalb eines Kreisringes 'R^<\x\ -C II <oo besitzt. Aus dieser erweiterten Ungleichung 

 folgt u. a. die wichtige Tatsache, dass sämtliche Sätze, die oben für ganze Funktion nach- 

 gewiesen wurden, allgemeiner für analytische Funktionen gelten, welche in der Umgebung eines 

 isolierten wesentlich singulären Punktes eindeutig und regulär sind. Insbesondere ergibt sich 

 in dieser Weise ein Beweis des s. g. allgemeinen PiCARDsc/ien Satzes. 



Die in Aussicht gestellte erweiterte Ungleichung wird durch dieselbe Methode hergeleitet, 

 wie die speziellere (27); hierzu müssen nur die zwei funktionentheoretischeii Hilfsformeln (2) 

 und (4)' so modifiziert werden, dass sie in dem vorliegenden Kreisringfall anwendbar sind. 

 Dies gelingt am Einfachsten unter Anwendung einer allgemeiner Formel, die von F. Nevan- 

 LiNNAi) aufgestellt und von ihm und dem Verfasser'-) zur Untersuchung verschiedener funk- 

 tionentheoretischer Fragen angewandt wurde. 



22. Sei f{x) eine analytische Funktion der komplexen Variable x=^re"'\ welche innerhalb 

 und auf dem Rande eines von gewissen analytischen Kurven r begrenzten zusammenhängenden 

 Gebietes G eindeutig und meromorph ist. Die innerhalb G gelegenen Nullstellen und Pole 

 von f{x) seien a,, {/j = 1, 2, • • -, m) und b, (r = 1, 2. • -, n). Sei ferner ).{x) eine reelle Funktion 

 von X, die nebst ihren partiellen Ableitungen der zwei ersten Ordnungen innerhalb und auf 

 dem Rande von G stetig ist. 



Unter diesen Voraussetzungen ist 



m n 



(73) ^Ha,)-Y,Hi^)= ^^ fKl/l|^-^d4.^«Sl/l)ds+2^ flogif\JXda, 



wo ~- die in der Richtung der inneren Randnormale genommene Ableitung, ./ den Lapla- 



on 



ce'schen Operator, ds das Linienelement des Randes r, und da das Flächenelement des Ge- 

 bietes G bezeichnet. 



Sei nun G insbesondere der Kreisring Qo^\x\<:Ç. Man setze in (73) ^(rc) gleich der 

 Green'schen Funktion g(x.Xo) des äusseren Kreises \x\<,q mit ihrem Pol in einem Punkt Xg, 

 der innerhalb des Kreisrings G hegt. Wir schliessen den Pol Xo durch einen kleinen Kreis 



') F. Nbvanlinna; Über die Beziehungen zwischen dem Anwachsen einer analytischen Funktion und der Ver- 

 teilung ihrer Nullstellen und Pole CVerhandlungen des 5. skandinavischen Matheraatikerkongresses in Helsing- 

 fors 1922). 



^) Vgl. die auf S. '6 zitierte Arbeit. 



Tom. L. 



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