40 RolfNevanlinna. 



Um die JENSENSche Formel für den vorliegenden Kreisringfall zu modifizieren, setze man 

 in (73) /(a;) gleich der Green'schen Punktion des äusseren Kreises \x\<q mit ihrem Pol in 

 dem Nullpunkte x = 0. Man findet so 



= 2~/log,/(ee'*)|d^-5]log^''-, + 2]logj 



b,. 







(76) 



Es bezeichne jetzt nir,f) die Anzahl der Nullstellen von f(x) in dem Kreisringe Qo<i\x\<Cr, 

 und N(r,f) das Integral 



die erweiterte JENSENSche Formel (76) lässt sich dann in der Form 



(77) m (r, /) + iV (r, J.) = m (r, j) + N (r, /) + C« + C',, logr, 

 schreiben,' wo die Konstanten 



2!r 2(r 



<^' = 2^/^^^g/(?«^''')'^^' Co = 2^J"log /(eoe»'»)|d^-C:iogeo 



nur von den Werten der Funktion auf dem Kreise x\ = Qo abhängen. 



23. Man nehme jetzt an, / (.r) sei eine innerhalb eines Kreisriuges Ra<^\x\<iR eindeu- 

 tige, reguläre analytische Funktion. Dann existieren für jedes System von Werten a,i (a^^b) 

 und Co > ^0 ■S'M'ß* Konstanten C und C derart, dass die Ungleichung 



(78) mir,f) + N{r,f') <C + C'log? + 6log^^ + lY (?,/- a) + .V(?,/-b) + 4logm(e,/) 



für Qo'Cr <Cç <C E besteht. 



Der Beweis dieser allgemeinen Beziehung ergibt sich durch dieselbe Methode, die im 

 vorhergehenden Abschnitt zu der analogen Ungleichung (27) führte; hierbei hat man nur die 

 Formeln (2) und (4)' durch die soeben gefundenen (74) bzw. (77) zu ersetzen. Die Modifikatio- 

 nen, die man in dem Beweise vornehmen niuss, sind so leichter Art, dass es überflüssig sein 

 dürfte den Nachweis von (78) hier durchzuführen. 



Es ist klar, dass die erweiterte Ungleichung (78) sich in genau derselben Weise behandeln 

 lässt, wie die speziellere (27) in dem vorhergehenden Abschnitt. Sämtliche Polgerungen, die 

 oben aus der letzteren gezogen wurden, sind also auch in dem vorliegenden allgemeineren 

 Fall gültig, wo die betrachtete Punktion innerhalb eines endlichen oder unendlichen Kreis- 

 ringes eindeutig und regulär ist. Insbesondere folgt so, was von besonderem Interesse sein 

 dürfte, dass sämtliche Eigenschaften, welche oben für ganze Funktionen nachgewiesen wurden, 

 allgemeiner für jede in der Umgehung eines isolierten, wesentlich singulären Punktes eindeutige 

 und reguläre Funktion gültig sind. 



Tom. L. 



