UnIersur.haïKicn. über ilen l'uardCsc-hen. Salz. 41 



24. Wir wollen zum Schluss näher ansfüliren, wie der s. g. allgemeine Picard'sche Salz 

 aus der erweiterten Beziehung (78) folgt. Dieser Satz sagt belcanntlich aus, dass eine in der 

 Umgebung eines isolierten wesentlich singuiäniu Punktes eindeutige, reguläre analytische 

 Funktion jeden endlichen Wert, ausser möglicherweise einem einzigen, unendlich oft anneh- 

 men muss. 



Der Nachweis wird indirekt geführt. Sei also f{x) eine analytische Punktion, die in der 

 Umgehung des Unendlichkeitspunktes eindeutig und regulär ist und die zwei Werte a und b 

 {a =z^ b) nur in einer endhchen Anzahl von Punkten anninmit. Es soll gezeigt werden, dass 

 f{x) im Punkte a; = oo entweder regulär ist oder dort einen Pol hat. Nach Voraussetzung 

 existiert eine solche Zahl II^ dass /(;;;) für \xi>Ro die Werto « und h überhaupt nicht an- 

 nimmt. In der Ungleichung (78) verschwinden also für ?>r>ço>^o sowohl N(r,f — a) 

 wie A'(r, / b) identisch, und es wird somit 



+ 1 4 



m {r, f)<C + C' log e + 6 log ^— ^. -|- 4 log m (o , /) . 

 Hieraus schliesst man durch Multiplikation mit -^ (k > 0) und Integration, wie in dem 



r 



Beweise des speziellen PicARDSchcn Satzes (vgl. S. ]0), dass das Integral 



J ,* + i «^' 



für jedes fe > konvergent ist, und dass folglich die Beziehung 



(79) lim'^;Ö = 



>■ — CO r 

 für jedes fc > gültig ist. >) 



Die Behauptung folgt nun leicht mittels der Formel (75), welche für die logarithmische 

 Ableitung der Funktion /(.r)-« die für ?o<kl<? gültige Darstellung 



(«0) ^2-2. h f^'^''^"' ^^^^ +^'^-^) 



u 



gibt, wo R'{x) (vgl. S. 39) gleich 



R'{x)=^^ riog|/(S)-a {^-, + -^A-^)d^+^ f— ''!" - darg(/(£)^a). 



ô- = 



und 'i = Q„e'^ ist. Mittels (79) folgt nämlich, wie auf S. 11, dass das erste Glied rechts in 



(80) für jedes endliche x für ç -> >; verschwindet, während R' (x) hierbei offenbar dem Grenzwert 



1 /'"d arg (/•(!)-«) 



(81) -2>Ji°^ ^(^^^-'^Ic-r-r^ + ^J—^^ 



■0' = O 



') Man bemerke, dass mir.f) als konve.xe Funktion von log r entweder für jedes j->((c, beschränkt oder 

 von einem gewissen Wert r ab eine mit r wachsende Funktion ist. 



N:o 6. 



