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Diese Formel k.-iiin nach EiiisetzAiiiîï von p ;uis Gleicluiiisi- (40) imi' lumicriscli ausgeweitet wer- 

 den; sie gilt l'ür den Fall, dass der einfallende und der icflektierte Strahl auf derselben Seite der 

 Normalen liegen, und dabei f < i. Ist * >i, so liegt die Grenze des sichtbaren Teiles der Halb- 

 kugel oberhalb der Schattengrenze. Die Integration ist in diesem Falle bis zur ün.'nzkurve 



ijj = arctg [sin w tg (jt -- 2 *)] = arctg («i sin w) = p, (42) 



auszuführen. 



Bei der nmnerischen Integration ist weilei' in Betracht zu ziehen, liass die Schattengrenze 

 bei kleinen Einfallswinkeln (i< 45°) innerlialh des 3. und 4. Quadranten liegt. Es ist bei i< 45 

 tg (.-T — 2 i) <{) und da, '/' nur positiv sein kann, so folgt aus der Gleichung (39), dass sin w < o. 

 Die Integration nach m hat also die Grenzen — .t bis 0, da aber der erste und zweite Quadi'ani • | 



auch beleuchti't sind, sd nehmen unsere Doppelintegrale jetzt die Form an I 



I = I sin^ Ol d M j cos3 (/' (/ »/' + I sin'^ w d w j cos^ (/' d t/' 

 il ö _ ? i» 



und hieraus erhiUt man nach einfachen Transformationen 



I = ;^ — / ( 4 sin p + yr« sin 3 p) Jm , 



: u 



:r TT ~ 



■j n a ■ 



II = j di„ f sin^ 1/' cos 1,1' dil' + j du j sin^ '/■ cos (/irf 



ip 



und hieraus 



TT ' r -^in' n , 



1 1 = .^ sr — j —j^ du), 



(I 



ff ff - TT 



III = \ sin M (/"» I cos2 ,/, gj,i „,(/ ^, ^ I sin <» d«> j cos- '/' sin 'i'd '/' = 3 + 3 / sin w cos'' p dw 



o 



Liegen der einfallende und der reflektierte Strahl zu veiscliiedenen Seiten der Normalen, so ist 

 von der beleuchteten Halbkugel nnr der Teil sichtbar, der zwischen den Greuzkurven 



(/' = arctg (■/( sin ">) ; wo n = tg {sr -- 2 i) 

 und 



t/' = arctg (hj sin ci); wo 7)l = tg2^ liegt. 

 In diesem Falle ist 



cos </ = sin i cos tp siir fi + sin ij' cos i 



cos It = — sin t cos </' sin w + sin 1/' cos e 



nnd der Ausdruck für die reflektierte Lichtnienge daher 



ff ~ 



1 :-'--ç'i=-2C;,-2 f — sin /sin« / sin'^ 10 doi | cos^ U'dil' + cos ! cos« | dco j sin-.i/zcos il>dip-+ 



2 '; 



( . , -i- sin (^' — ^) J sin w d w | cos^ U' sin ■(/' <?'/» . ■ 



Toip. L. 



