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1. Es sei f{x) eine analytische Funktion der liomplcxen Variable x=re"^, die in jedem 

 endlichen Punkt der oberen Halbebene I (x) ^ eindeutig und meromorph ist. Die in der oberen 

 Halbebene gelegenen Nullstellen und Pole von f{x) seien a^ ifi = l,2, . . .) und b,{v = 1,2,.. .); 

 wenn diese Stellen in unendlicher Anzahl vorhanden sind, so häufen sie sich nur in dem unend- 

 hch fernen Punkt. 



Im folgenden sollen die asymptotischen Eigenschaften der Funktion log|/(x)| untersucht 



werden. Es erweist sich hierzu als zweclauässig, diese Fuuktion als Summe von zwei harmonischen 



Funktionen: 



log\f{x)\=Uo{x) + U^ix) 



zu schreiben, von denen dl'' erste durch folgende Vorschriften bestimmt wird: Es sei Qa eine be- 

 liebig gewählte positive Zaiil. Uo{x) soll in der oberen Halbebene (einschliesslich des Unendlich- 

 keitspunktes) regulär harmonisch sein, mit Ausnahme derjenigen Punkte O;,, Î),, die in den Kreis 

 I a; |< Co fallen, wo sie negative bzw. positive logarithmische Pole von denselben Multiplizitäten, 

 wie log I / 1 , haben soll. Auf dem Segment U |< Co der reellen J-Achse nehme sie die Randwerte 

 log I /(() ! an, während Uo(l) = für \ I \>Ço- Fordert num noch, dass Uo in der Umgebung 

 der Punkte x=+Qo beschränkt sei, so ist sie hierdurch eindeutig bestimmt, und man findet 

 gemäss der Formel (A), wenn (j{a, h) die GREENSChe Funktion der oberen Halbebene bezeichnet. 



(1) 



Uo (^0 = 2^ /' log / (0 I ^-^'^ (H^'^g{x,a,) + Y^o{x, b,) 



-j. lvi<p, l»,J<c. 





i/logl/(Oi^ 



r sin fjp 



+ f — 2 rt cos q) 



dt- 



2] log 



I «„ i< ?» 



2:10g 



Kffo 



; - b„ 



X — b„ 



Es ist für die folgende Untersuchung wichtig zu bemerken, dass Uq{x) für x--co verschwindet 



derart, dass 



(!') t^o(:.) = 0(^l 



') Die zu einer komplexen Zahl a konjugierte Zahl wird im folgenden mit « bezeichnet. 



Tom. L. 



