über die Eigenschnflcii mcromorpher FunMionen in einem Winlcelraum. 5 



Die Differenz 



l},(x) = \og\fixy-Uo(x) 



ist eine in der oberen llalbebene harmonisclie Funktion, die in den ausserhalb des Kreises 

 |x| = çj gelegenen Nullstollen «,. und Polen K von f{x) negative bzw. positive logarithmische 

 Pole besitzt und in jedem Punkt ( des Intervalls | M>eo f^en Wert log 1/(0 I annimmt. Auf 

 dem Segment ! ( |< Co verschwindet sie wiederum und lässt sich also gemäss dem Spiegelungs- 

 prinzip über dieses Segment in die untere Halbebene harmonisch fortsetzen. Insbesondere ist 

 sie deuinacli im ganzen Kreise I x j < (^o regulär und kann in eine daselbst konvergierende 

 trigonometrische Reihe 



Ui (x) = do + ^r" {d, cos j' y + c» sin v<i) 



entwickelt werden. Unsere nächste Aufgabe ist, für die Koeffizienten dieser Entwicklung gewisse 

 Ausdrücke mittels der Randwerte und Pole von C7, (x) in einem durch die Ungleichungen 



l(.i)>0, \x\<ç iQ>Qo) 



definierten Halbki-eis C^ herzuleiten. 



Zu diesem Zweck stellen wir U^ (x) in Cp durch die GnEENSche Formel (A) dar, wo das Integral 

 über den Rand von C^ erstreckt werden soll. Führt man den Wert 



g f(a,b) = log 



der GEEENSchen Funktion von C„ ein, so wh'd 



U,{x)=\og\fix)\~U,(x) 



= M log I / (0 1 '■ sin (f I 



TT 



r'' + t' — 2rt cos q) 



-^ l| 





(2) 





i>'-a X 



Po I < "u 



/ ^ ^ 1 



(p' + r^ -2 i>r cos {9 -p) q' + r' -2 çr cos (9 + ip)f 



<>o < i »/I l< ? 



d^ 



Die Kerne der hier stehenden Integrale und die GnEENsche Funktion g^(x,c) haben die Ent- 

 wicklungen 



1 



C-,2 _ ,,.2\ ( \ 



cos Ç' 



-CJ 



<^ — 2 rt cos (jp 



1 



[ ^ y / 1 _ J^\ r'sinv q, 



r cos {& ~ cp) Q- -\- r"^ — 2 () r cos {i} + (p) 





r'sm i'(f. 



, (r e'", c) = 2 y f — - t^' ] ^^^ r' sin .' y- 



(c = |c|e'>). 



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