6 RolfNevanlinna. 



Wenn x = rèf ein innerer Tunkt des Halbkreises C^. ist, so sind diese di-ei Reihen für sämtliche 

 Werte f, li^, |c|, y der Intervalle Qo£t^Q, 0£d-£st, Qofi c\£ç bzw. 0^y<«' absolut 

 und gleichmässig konvergent, und wir erhalten also die trigonometrische Entwicklung der har- 

 monischen Funktion Ui{x) durch gliedweise Integration bzw. Summation der obigen Reihen 

 auf der rechten Seite der Formel (2). Für die Koeffizienten c,, d, ergeben sich die Werte: 

 d, = und 



(3) 



?o < r< I < c 





-fil " ' .ta- >i"j^i 



Co g I «^ K p Po g I fc;, K p 



wo a^ = \ai,\e "f", bi, = \b,^\e ^i' gesetzt worden ist. Es gilt also das Ergebnis: 



SATZ. — Die harmonische Funktion U^ (x) lässl sich in die für \x\ <^ Qq konvergente Reihe 



00 



Ui{re"P) = ^c,r''smr(f 



entwickeln, deren Koeffizienten c, durch die Formel (3) gegeben sind. 



2. Die Formel (3) verdient für den speziellen Wert »■ = 1 besondere Aufmerksamkeit. ') 

 Um übersichtliche Bezeichnungen zu erhalten führen wir die durch die Gleichung 



log|/i(a;)| = [/i(x) 



bis auf einen Faktor e'™ wohlbestimmte analytische Funktion /i(a;) ein und setzen dann für 



r 



A (r, /0 = ^ / (log I /i (0 I + log ! A (- t) (^ -^)dt, 



TT 



ß ('% /i) = -^- J log ! /i {re"^) I sin if dq, 



Ô 



Mit diesen Bezeichnungen ergibt sich aus (3) für i'=l: 



') Diese spezielle Formel ist, in etwas modifizierter Form, zuerst von F. Nevanlinna {über die Beziehungen 

 zwischen dem Anicachsen einer analytischen Funktion und der Verteilung ihrer Nullsteüen und Pole, V« Congrès des 

 Mathématiciens Scandinaves, Helsingfors 1922) aufgestellt und angewandt worden. Vgl. auch F. und ß. Nevan- 

 linna: Ijber die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgehung einer singulären Stelle oder Linie (Acta soc. 

 sc. Fennicae, t 50, N:o 5, 1922), T. Oarlbman: Über die Approximation analytischer Funktionen durch lineare Aggregate 



von vorgegebenen Potenzen (Arkiv för mat., astron. och fysilî. Band 17, N:o 9, 1923, insb. § 2). 

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 ^) Es ist löga gleich logo oder Null, je nachdem o>l oder 0<a<l. 



Tom. L. 



