über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 7 



(0 A (r, /0 + B (r, /,) -I- C (r, /,) = A (r, '^'j + B (r, ^'. ) -f- C (r, j.) + c, . 



Unter Anwendung der letztgeschriebenen Formel werden wir luiii l'im-n für die folgende 

 Untersuchung wichtigen allgemeinen Satz herleiten. Wir beweisen hierzu zunächst den 

 HILFSSATZ 1. — Die Summe 



S{r,f,) = A(r,f,) + B(r,f,) + CirJ,) 



ist eine wachsende Funktion von r. 



Beweis. — Sei ()~>Qo ^m^^ V ^{x) diejenige harmonische Funktion, die aiir dem Rande des 



+ 

 Halbkreises Cq die Randwerte log|/il annimmt und im Innern von Cp dieselben positiven loga- 

 rithmischen Pole h,, wie log|/i | = l\, besitzt. rjj(a:) ist hiernach nichtnegativ und die durch 



die Gleichung 



\og\U\ = V, 



bestimmte meromorphe Funktion /^ also dem absoluten Betrage nach >1 im Gebiete C'^; es ist 

 folglich 



S{r,j^=0 für Qa<r<Q, 



und gemäss der E'ormel (4) 



'^C*'. /p) = const. für Q„<r<,q. 



Nach der Konstruktion von /p ist aber »S'(ç, /j) = 8{q, /,), und unser Satz ist hiernach richtig, 



wenn 



S{r,h)<S(r,f,) für Qo<r<Q. 



Dies ist tatsächlich der FalL denn zunächst ist 



fa) C(r,A)=C(r,/,), 



ferner ist die in C'j reguläre Funktion ^.- auf dem Rande und folglich auch im Innern von C^ dem 

 absoluten Betrage nach ^1, und also 



log|A|^logI/,t in C,. 

 Es ist also auch 



(b) B{r,h)SBir,f,), A(r,h)<A{r,f,), 



und die zu beweisende Ungleichung ergibt sich durch Addition von (a) und (h). 



Man bestätigt leicht, dass die einzelnen Glieder A und C der Summe S nichtabnehmende 

 Funktionen von r sind. Demungeachtet ist der soeben bewiesene Hilfssatz nicht trivial, denn 

 das Glied B ist nicht immer mit r wachsend, wie durch Beispiele gezeigt werden kann. 



HILFSSATZ 2. — Die meromorphe Funktion f{x) genügt der Bedingung 



S(r,/)-S(r,|) = c, + 0(^)- 

 Beweis. — Nach der Definition der Funktion f^ ist 



A(r,f)^Air,h), C {r,f) = C (r,f,) 

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