8 RolfNevanlinna. 



und, da die Differenz L/o = logl/ | - log i/i | der Ungleichung (1') (S. 4) genügt, weiter 



B(r,/) = B(r,A) + 0(;.)- 

 Durch Addition ergibt sich, dass 



(5) .S'(r,/) = ,S(r,A) + 0(;.) 



und, in analoger Weise, 



s(..,;)=s(4).o(:.). 



Unter Beachtung der Formel (4) ergibt sich nun die Behauptung durch Subtraktion der zwei 

 letzten Beziehungen. 



Wir führen nun zur Abkürzung folgende Schreibweise ein: Es sei z eine beliebige komplexe 

 Zahl; wir bezeichnen für ein endliches s 



S(r;.) = s(r,^^J 



und für 2 = oo 



Sir- oo) = S {r,f). 



In entsprechender Weise definieren wir die Ausdrücke A (r; s), 7?(r; s), Cir; z). Es gilt dann der 

 HILFSSATZ 3. — Die m£romorphe Funktion f{x) ficnnril für jedes Wertpaar a, h der Bedingitng 



S(r;a)-S(r;6) = 0(l). 



Beweis. — Sei zunächst eine endliche Zahl. Gemäss der evidenten Ungleichung 



ist 



und also 

 Demnach wird 



+ + + 



log(a + iï)<loga + log,«+log2 («,/S:>0) 



log I /-S I ^ log(| / 1 + 1 1) _^ log : / + log 1 2 1 + log2, 

 log I / 1 = log 1 (/ - s) + s I ^ log I / - 2 1 + log 1 2 I + log 2 , 



|log|/-0|-log|/||^log|s| + log2. 



4(r,/) = J(r,/-0) + Oa), B(r,/) = B(r,/-s) + 0(l). 



Ferner ist C(r, f) = C{r,f — z), und es gilt somit 



'S(r,/) = S(r,/--2) + 0(l). 

 Nach Hilfssatz 2 ist weiter 



S(r,/-^) = s(r,^^) + 0(l) 



und es wird also: 



S(r;co) = S(r;s) + 0(l), 



woraus die Behauptung folgt. 



Tom. L. 



