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lli^zrichiH'ii wir iimi dir nbi^ii betrachtete wacliseiide iMuiktitui N(r, /,) kurz mit S(r), so er- 

 iiaheii wir miter lieaelil iiiiti' ili'r l'.ey.ieliiiiiu- (:.) a!s Zii-^aiiiiiieiilassiiii^- der soeben bewiesenen llilfs- 

 siitzen den 



SATZ I. — Sri f{x) eine in jedem emllieUen l'unll der llulhihcne i(.r)>0 eincleulige mero- 

 morjihr Fiiiil-tio)i. Er existiert dann eine his auf eine beschränkte Grösse 0(1) heslivimle, wachsende 

 l''iiid.tii)ii S{r) dcrorl, dass die Beziehung 



(I) A (r; 3)+ B (r; z) + C(r; z) = 8(r) + (1) 



fär jeden endlichen oder unendlichen Werl z hesleht. 



Dieses Ei'ü'obnis entspricht einem Satz in dov Theorie der in der ganzen endlichen Ebene 

 mi'riiiiKii'iilii'n l'unklidueii, den icli in i'iner kürzlich orschienenon Arbeit den ersten Hauptsatz ge- 

 nannt liai)e und ili'i' in derselben Weise ans der JensenscIicii Formel folgt, wie (I) aus der For- 

 mel (4).i) Wie dieser erste Hauptsatz, bringt auch die Formel (I) eine bemerkenswerte Symmetrie- 

 eigenschaft einer meromorphen Funktion zum Ausdruck. Von den drei nichtnegativen Gliedern 

 der linken Seite in (1) bestimmen die zwei ersten (A und B) die Stärke der Konvergenz von /(x) 

 gegen den betreffenden Wert z, das dritte (C) die Dichte der Stellen, wn /(./) dii'sen Wert z an- 

 ninunt; die Summe dieser drei Grössen verhält sich nun nach (I) gegenüber verschiedenen Werten 

 z invariant (von einer beschränkten Gnisse 0(1) abgesehen). 



Die zu einer meromorphen Funktion /(j) gehörige Fundamentalgrösse S{r). die in der fol- 

 genden Untersuchung eine wichtige Eolle spielen wird, besitzt auch nachstehende Eigenschaft, 

 die eine leichte Folgerung aus dem obigen Satze ist^): 



Wenn d)e ])elerininante der Zahlen «, ß, y, d von Null iwrschiedcn isl, so ist 



S(r,/) = s(r,<t_^^) + 0(l). 



Durch eine einfache Variabeltransformation lassen sich die oben erhaltenen Ergebnisse auf 

 tien allgemeineren Fall übertragen, wo die analytische Funktion in einem beliebigen Winkel- 

 gebiet IV' meromorph angenommen wird. Ist W insbesondere durch die Ungleichung 



') Wenn /\.t) eine in der endlichen Ebene raeromorphe Funktion ist, setze man für ein endliches z 



2lT 



'^Ut 



und für z = oc 



m{r;z) = -l- f log 1 ! rf-p, N{r;z)= f^ill 



-iJ /•(re•>)-^ J * 



'0 



2ir r 



»»(»•;oo) = J- I log\f(re''^)\dq>, N(r;oo)= j ^'■'''' '^'> dt, 



ü '■„ 



wo n{t;z) die Anzahl der ^-Stellen von f (x) im Kreise ] a; | < < bezeichnet. In meiner Arbeit ..Zur Theorie 



der mermnorphen Funktionen", die bald erscheinen wird, habe ich folgenden Satz bewiesen: 



Zu jeder meromorphen Funliion gehört eine bis auf eine beschränkte Grosse 0(1) bestimmte, reelle, wachsende 



Funktion T(r) derart, dass 



T(:r) = m(r■,^) + N{r■,z)^-0(l) 

 für jedes z gilt. 



^) Vgl. meine soeben zitierte Arbeit, insb. S. 19. 



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