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Rolf Nevanlinna. 



Dieser Satz lässt sich noch etwas verschärfen. Iliei'zu bemerke man dass dir (irössen .S(r) 

 = '^' (*■./!) (vgl- i^. 9), ^1(**; cm) und C'(r; cc), als wachsende Funktionen von r. lür /--.co be- 

 stimmten Grenzwerten zustreben. Sind die zwei letzten dieser Grenzwerte insbesondciv nidlirli, 

 so folgt aus der Formel: B{r;oc)= S{r) — A{r;oc)-C{r;cc) + OiA {vgl. (5)), ilass auch 

 jB(r;oo) mit wachsendem r sich einem bestimmten Grenzwert nähert. Wendet man nun dieses 

 Ergebnis auf die F'unktion j. — an, so ergibt sicli: 



Wenn das Inlcyral (10) und die Reihe (12) für einen (jeivisacn Weit z konicrçiciil sind, so existiert 

 der Grenzwert 



k 

 1 f + I . 1 



lim -T I log r- 



,-^r'.) ^|/-„e»^)-, 



ûviUUdi}. 



Ist dieser Wert insbesondere endlich, so sind die Ausdrücke (10), (11) und (1'2) für olle Werte z 

 endlich. 



Wenn die Fundamentalgrösse S{r) für c -» co unbesciiränkt wächst, so gilt iler 



SATZ 2. — Wenn, für ein gegebenes /l>fc, die Integrale 



j(Md- 



+ loK 



Åte^) 



dt 



/A + l 



und die Reihe 



r ^-^^ dr, wo b{r;z)== f log ! -}^ 



sin k d .7 



^ sin k< 



2j o\(^ 



sin A'ipj, (z) 

 1^ 



für einen Wert z konvergent sind, so sind sie, sowie das Integral 



(13) 



f-isn_dt 



für jedes z konvcrijenl. 



Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Satz I in Verbindunt;- mit ilen llilfssätzen 2 

 und 3. Man könnte das obige Ergebnis auch in folgender Weise aussprechen: 



Für ein gegebenes / > k ist das Integral 



(14) 



J' a{t;z)-\-a{te^' ;z) + b{t;z) -\-cit;z) . 



entweder für alle Werte z komergent oder für sänitlirlie z dirergcnl. 



Es sei A > /c eine Zahl, woliir der erstgenannte Fall zutrifft. Wir behaupten, dass die Sunnae 



(15) 



a (r ; z) + a(re >" ; z)+ b (r; z) + e (r ; z) 



Tom. 1,. 



