über die Eigenschaf le u viei-niimrplirr Fiuil-lioncn in einem Wiiikelrairm. 13 



luich^ilciis Villi lier ( inliiiiiin' r'- ist.') Da. ii;iiiilicli <i{l\:) i'iiu' waclisiMidc l''iiiikt ioii vmi c ist, so 

 folgt aus ilrr vorausgvsct'/ti'ii Koiivcr.nvn/. (1rs liilcgrals (11), dass liir riii liVLiciicncs i>0: 



f II il;:) ,, ^ _ , . s (■ r// a(r;z) 



von riiiriii u-c\\iss('ii Werl r ah gill. Die Grösse «(/;;) ist hicniacli iKiclistciis von der ( )nliiiiiig 



l\ und dasscjlic L'üt auch liir (((/(■'■;,;) und (•(/;,:), di(; oboiifalls waclisi'iidc Funktionen sind. 

 Um /( ali/.uschä(zrn, brmcrkr man, ilass das Integral (13) für den betrachteten Wert X konver- 

 giert. Da nun aiieli S(r) mit c wachsend ist, so schliesst man wie oben, dass ilire Ordnung hocli- 

 stens gleicli /.-/.: ist. Geniäss dem Hauptsatz (Î) trifft tües dann auch ITir lUi-\.:) zu. und die 

 Grosse /, = " r'' />' ist also nicht vmi höherer Ordnung als rK llierniit ist die Behauptung 



. A. 



bewiesen. 



Andererseits folgt aus dei' Definition des Ordnungsbegriffes, dass die Ordnung der Summe 

 (lü) auch nicht niedriger als r' ist, wi^nn das Integral (11) divergent angenommen wird. Wir 

 schliesseu also: 



Wenn die Ordnung // (s) der Summe (15) grösser als k ist, so ist das Integral (14) für jedes 

 Å^fi(s) konvergent und für X<i/i{s) divergent. Die Ordnung /j{z) hehäll also für sämtliche z 

 einen konstanten Wert-). Ist ii{z) wiederum für einen gewissen Wert s kleiner oder gleich k, so 

 hat sie diese Eigenschaft für alk; Werte z (Satz 1), ist aber im allgemeinen nicht mehr für ver- 

 schiedene 2 konstant. Es liegt nun nahe folgende Pefinition aufzustellen: 



Die Ordnung einer nieroinorjilun Funktion in einem gegebenen Winkelraum Wio<(f<,-j] 

 sei im Falle fi{z)^k gleich der konstanlen Zald !'{:), im Falle /j,{z)< k wiederum gleich der oberen 

 Grenze der Menge fj (z) . 



') Man definiert bekanntlich die Ordnung einer positiven, reellen Funktion s(r) als die obere Grenze 



ii^ M^; 



,• = 00 log r 

 nach PRiNrisHEiir sagt man weiter, s{r) sei vom Maximal-, Normnl- oAçr Mininialtupiis åer OrAnung X, je nachdem 



lim 



s{r) 



■ 00 r^ 



unendlich, endlich und positiv oder gleich Null ist. Falls s{r) von der endlichen Ordnung A ist, so ist dass 

 Integral 



CS 



I 



für /r; > A konvergent, und, falls s (r) eine wachsende Funktion ist, für fe<i divergent. Wir sagen, dass s{r) 

 vom Konvergenztypus oder Divergenztypus der Ordnung A ist, je nachdem das Integral für fe = A konvergent oder 

 divergent ist (G. Valiron, der zuerst die Bedeutung dieser letzten Begriffe für gewisse Fragen in der Theorie 

 der ganzen Funktionen erkannt hat, spricht von „classe inférieure" bzw. „classe supérieure". Vgl. seine Arbeiten: 

 Sur les fonctions entières d'ordre fini (Bull. Sciences math., 1921) und Fonctions entières et fonctions méromorphes 

 (Mémorial des sciences math., fasc. II, Paris, 1925)). 



-) Man könnte leicht zeigen, dass sogar der Typiis (vgl. die obige Fussnote) für verschiedene z in- 

 variant ist. 



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