18 Rolf Nevanlinna. 



SATZ II. — Es sei f (x) eine in jedem endlichen Fv.nkt des Winkelraumes < arg a; < 4 

 meromorphe Funktion. Wenn s^,...,Zg verschiedene, endliche oder unendliche komplexe Zahlen 



bezeichnen, so ist 



<i 



(II) (g - 2) S (f , /)< 2 C (r : 0.) - C, (r) + B{t), 



1 



im Ci{r) in der ohen angegebenen Weise miltels der mehrfachen Stellen von /(.t) gebildet wird, und 



(9) R (r) < (g - 1) X (^ (^' fi^} + S (r^ /^) ) + 0(1). ') 



Die Bedeutung dieses Ergebnises beruht darauf, dass das Restglied R (r ) im allgemeinen von 

 niedrigerer Grössenordnung als die Fundamentalgrösse S{r,f) ist. Wir wollen bei dieser Gelegen- 

 heit auf eine allgemeine Untersuchung des Restgliedes nicht eingehen, sondern beschränken uns 

 auf den einfachsten Fall, wo f{x) in der ganzen endlichen Ebene eindeutig, meromorph und von 

 endlicher Ordnung ist. Es gilt dann der 



HILFSSATZ. — Wenn f{x) in der endlicken x-Ebene meromorph und von endlicher Ordnung 

 ist, so ist 



(10) 7?(r) = 0(l). 



Beweis. — Wegen der Ungleichung (9) genügt es zu zeigen, dass 



^(r,Ç) = 0(l), i?(r,Ç) = 0(l). 

 Zum Beweise stellon wir f(.r) in der kanonischen Form 



dar, wo P ein Polynom ist und .-^1,^0 mittels der Nullstellen bzw. Pole von f{x) gebildete 

 WEiERSTRASSsche kauonische Produkte von endlichem Greschlechte sind. Es ist hiernach 



1 îTl "i 



und also gemäss der Ungleichung (6) 8. 16 



iog|y|<iog3 4 log P' +iog^ 



-h 

 Da log P' = (log r) , so folgt, dass 





r 



(11) a [r, Ç) f^ j' log I Ç^ I T < (dog ff ) + a[r, ;;'• ) + a (r, ^) 



Po 



Zur Abschätzung der zwei letzten Glieder betrachten wir ein kanonisches Produkt vom end- 

 lichen Geschlechte q: 



') Wenn ?„ = 00 so hat man einfach /"statt /'— r^ zu schreiben 



Tom. L. 



