über die Eigcnsàiaftcn mrromorplicr h'iiiiklionrn in einem Winkelraum. 



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Durch Differentiation ergibt sieli für \x\ = r, wenn | .r„ | = r^ sesf't'/.t wird, 



VI |y x«_ ^ y / r y i 



1 \^ "^y) *^y 



Falls i'o so gross gewählt wird, dass n>2r für i'>>'o, so wii^l 



y ( L f 1 < 2 r' y -V, < const. '/ 

 und es ist also gemäss der Ungleicliung ((i) S. 16 



r«, 



(12) 



+ \-- I r\'' ' 



log 1^ j < Const. + g log r + log ^ ( -J- ) 



\r -rj 



wu H(yj die Anzahl der Punkte x, im Kreise \x\<r bezeichnet. 

 Es sei nun fi eine beliebige positive Zahl. Dann gilt für r < o : 





< 



q8 + '' 1 



p" I »• - r J 



wo j-j die kleinste der Zahlen r, ist, und also nach der Ungleichung (6): 



n (2 /•) 



«|2/'I 



1 



o'' (r - r ) 



log y /-^) TT^TH < Const. I- (g + ^) log y + log n (2 r) + ^] log 

 1 " ' 1 



Nun ist bekanntlich log»i(/-) = 0(log»-) und uuin findet aus (12) durch Integration 



"(2?) p ^ 



(13) 

 Hier ist 



«(?>^')<o((iog-o-^)+2; flog 



1 •■' 



1 



(•"(t-o 



dt 



T' 



r„ + 



/',+ 1 d< . 1 r 1 1 



d« = 



L'üP" 



und die Summe rechts in (13) ist also höchstens gleich 



2 n(2()) 



Wählt man nun /i > g + 1 , so strebt dieser Quotient für (* > cc gegen Null und es wird gemäss 

 (13) (( ( r, ''^] < ((log r)-) . Gemäss (11) ist nun a ir, Ç] -CO {(log rf), und nuui schliesst ver- 

 mittels des Ausdruckes (7) (S. 10) der Crrösse A, dass 



4(r,Ç) = 0(l). 

 Nio 12. 



