20 Rolf Nevanlinna. 



Durch eine ähnliche Überlegung könnte man zeigen, dass auch 



f'\ 



(14) 



B(rjj.) = 0{l). 



Am Einfachsten geht dies indessen aus einem Satz hervor, den ich in meiner S. 9 zitierten Arbeit 

 bewiesen habe. Ich zeigte dort (vgl. S. 52), dass eine meromorphe Funktion von endlicher 

 Ordnung der Bedingung 



"^(»•'/■l^ä^J ^°S 



fCre'") 



d([ = 0(logr) 



genügt. Es ist hiernach 



und also ßir, /)=0[ "'i')- Hiermit ist die Beziehung (14), und folghch auch die Behaup- 

 tung (10) nachgewiesen. 



2. In diesem Paragraphen sollen einige Folgerungen aus der Hauptformel (II) besprochen 

 werden. Setzt man zunächst q = 3, so ergibt sich dass die Fundamentalgrösse S(r, /) beschränkt 

 ist, sobald die Grösse C (r; s) für drei Werte z beschränkt ist, und weiter dass die Konvergenz 

 des Integrals 



fCjrj 

 J r' + 



^MUr 



(A>0) 



für drei verschiedene Werte z die Konvergenz des Integrals 



/• Sir) 



dr 



zur Folge hat. Verbindet man dieses Resultat mit den im ersten Abschnitte gegebenen Sätzen 

 (S. 9—12), so folgt: 



SATZ 1. — Es seien f (x) eine meromorfhe F unk lion von endlicher Ordnung und r^(ß)e"'''{z) 

 J.hre innerhalb des Winhelraumes 0<arga;<y. fallenden z-Slcllen. Wenn dann, für einen Werl 

 l>k, die Reihe 



(15) 



sin kfp,{z) 



für drei verschiedene Werte s konvergiert, so ist sie für sämtliche z konvergent. Falls /l > fc , so ist 



auch das Integral 



f S(r) 

 J r' + 



)i—k 



dr 



konvergent; im Falle k = k ist wiederum S{r) beschränkt und also, für jedes z. 



— 1 r "*" I 1 i' i ^ 



lim ^ I log : sm-kwdq und /log 



\ 



1 



f{r)-z 



+ 



+ log 



Åre")- 



,.*■ + 1 



endlich. 



Tom. L. 



