über die Eiqenschafien meromorfher Fiiiikfinnen in einem Winkelraum. 21 



Dieses Ergebnis briiiü,!, iuicli In dem speziellen K.ill einer ganzen Fiinktinn /, eine wesent- 

 liche Ergänzung zu einigen älteren Sätzen. Es btr/eicline il/ (/•) das Maximum von 1 /(./)! auf 

 dem Teilbogen des Kreises |a;|=-r, der innerhalb eines inneren Winkelraumes W vun U' fällt, 

 llnter Anwendung des s.g. ScnoxTKYSchen Satzes (in der schärfsten Fassung, die ihm mittels 

 der Modulfunktion gegeben werden kann ')) zeigte Biebebbach, dass wenn 



,. M(r) 



{l(i) hm -^ = 00, 



die ganze Funkti(ui /(./■) im Winkelraume IT' der Öffnung ^ alle endliche Werte z, ausser höch- 

 stens einem einzigen, unendlich oft aiinehmi'u muss.-) Später habeich») diesen Satz dahin ver- 

 allgemeinert, dass die Reihe 



für alle endliche z mit eventueller Ausnahme eines einzigen Wertes divergent ist, falls f{x) der 

 etwas spezielleren Bedingung 



(17) lim ^^^ = 00 



r - (X r log r 



genügt. Nun lässt sich zeigen, dass die Beziehung (lö) nur dann erfüllt sein kann, wenn 

 ^i>\ /)^co für r-^co*), und wir sclüiessen aus Satz 1, dass, unter der Voraussetzung (16), nicht 

 nur die Reihe (15'), sondern sogar (15) für jedes endliche z, ausser höc^istens einem einzigen. Werl, 

 divergieren muss. Das Hinzutreten der Faktoren ü\\\ki{„{z) in den Zälilern der Glieder der 

 letztgenannten Reihe ermöglicht gewisse Schlüsse über die Argumente der s-Stellen einer me- 

 romorphen Funktion zu ziehen, die vielleicht nicht ohne Interesse sind; dies wird im folgenden 

 an zwei Beispielen erläutert. 



Beispiel 1. — Sei f{x) eine meromorphe Funktion erster Ordnung, derart dass für l{x) 



(S (r) — CO für r -- 00 . 



Nach dem obigen Satz ist dann die Reihe 



^ sin qp^ (z) 

 2j r, {zf 



divergent für jedes z ausser möglicherweise für zwei Ausnahmewerte s = a, z = h. Man nehme 

 nun eine beliebig kleine Zahl * >0 und ziehe die Kurve L^: 



r' sin f/1 = 1 . 



') E. Landau: Über den Pirardschcn Satz (Vierteljahrschrift der naturf. Ges., Zürich, 1906). 



'^) L. Bibberbach: Über eine Vertiefung des Picardschen Satzes bei ganzen Funktionen endlicher Ordnung (Math. 

 Zeitschrift, B. 3, 1919), und: Auszug aus einem Briefe des Herrn Biebeebach an den Herausgeber (Acta 

 math., t. 42, 1920). Vgl. auch H. Milloux: Le théorème de M. Picard, suites de fonctions holomorphes, fonctions 

 meromorphes et fonctions entières (Journ. de Math., 1924, p. 345, insb. N:o 11). 



') K. Nbvanlinna: Untersuchungen über den Picardschen Satz (Acta Soc. sc. Fennicae, T. 50, ]S:o ö, 1924, S. 28). 



') Dies wird im letzten Abschnitt vorliegender Arbeit gezeigt (Fussnote S. 37). 



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