22 RolfNevanlinna. 



Ich behaupte, dass die obige Reihe auch dann für jedes z:^a,h divergent ist, wenn sämtliche 

 Glieder gesti'ichen werden, die von den zwischen der reellen Achse und der Kurve L gelegenen 

 ^-Stellen herrühren. Für diese Stellen ist nämlich rjsin)y^<l, und die entsprechende Teil- 

 sumnie 



s^-<i; 



,.!+.' 



diese letzte Reihe ist aber konvergent, da die Funktion / nach Voraussetzung von ersler Ord- 

 nung ist. 



Eine Funktion der betrachteten Art ist z. B. f{ix). Man bestätigt mittels der Stirling- 

 schen Formel, dass sie in der oberen Halbebene der Bedingung 



S (r) -^ const. log r 



genügt und dass ihre 2-Stelleu, in Übereinstimmung mit dem obigen Ergebnis, asymptotisch in 

 dem von der Kurve L. und den Geraden sin (f = f begrenzten Gebiete liegen, ausser für z = , oc , 

 welche Werte sie in der oberen Halbebene überhaupt nicht annimmt. 



Beispiel 2. — Es sei f{x) eine meromorphe Funktion, die wenigstens vom Divergenztypus 

 der ganzzahligen Ordnung q ist; d. h.: wenn T{r) die in meiner S. 9 angegebenen Arbeit ein- 

 geführte Fundamentalgrösse bezeichnet (vgl. die Fussnote S. 9 der vorliegenden Arbeit), so soll 

 das Integral 



"T(r) 



J 



idr 



divergent sein. Wenn / insbesondere eine ganze Funktion ist, so ist diese Bedingung damit gleich- 

 bedeutend, dass das Integral 



"\og Mir) 



r 



'dr 



divergiert, wobei M (/•) das Maximum von | / 1 auf dem Kreise \x\ = r bezeichnet. Man weiss, 

 dass auch die Reihe 



\3 



(-) I(7-is) 



dann divergent sein muss für jedes s ausser möglicherweise zwei Werte (vgl. meine S. 9 zitierte 

 Arbeit, S. 64). Ich nehme nun an, dass zwei solche Ausnahmewerte s=a, z = h tatsächlich 

 existieren, und weiter, dass die ^-Stellen für einen dritten Wert z = c hauptsächlich in die Um- 

 gebung der q Geraden 



(19) smq(p = 



fallen derart, dass die Reihe 



„ siu qrcjz) 1 

 2j (r„l«))'' 



für = C konvergent ist. Da nun diese Reihe für die drei Werte z=a,h, c konvergiert, so scUiesst 

 man nach Satz 1, dass sie für alle Werte z konvergieren muss. Es liegen also nicht nur die c-Stel- 

 len, sondern überhaupt alle .s-Stellen (ausser für- s = o, b) vorzugsweise in der Nähe der Geraden 



Tom. L. 



