t^bcr die Eiçjcnschafiini meromorpher Fwtkiiouen in einem Winhiruwm. 23 



(19). derart dass diejenige 'l'eilsmiiinc der lliilic (is), welche den in den Winkelräumen \amq(p\ 

 <t(t>0) gelegenen Stellen ents|iriclil, divei'gent ist, \v;ilirend die tibrighleihende Teilsuinme 

 konvergiert. 



Man kiinnte l'ernev zeigen, dnss eine sulche niei'oniori)lie l'^nidvlinn iniclistens vom i^orinnl- 

 llljiiis der (tidnnng r' ist, d. li. dass 



lim- bzw. lira—^--- 



eni 



llich ist ')• Ein Beispiel einer Funktion, die den obigen Voraussetzungen entspricht, ist / = e' 



3. Ans der Hauptformel (II) können indessen einige Folgerungen gezogen werden, die we- 

 sentlich schärfe)' als die im letzten Paragraphen besprochenen sind. Es sei /(./■) eine meromorphe 



Funktion von endliclier Ordnung, die im Winl<;elraume w(o<^y< ^j der Bedingung ,S(r) — oo 

 für f -» ex: genügt. Nach der ersten Ilauptformol (I) ist dann für jedes z 



^^^^^4l^'- + ^)-=l + ^W' ^™ *-0 für r-^oc. 



Durch Division mit S und Elimination der Grössen C findet man dann aus der zweiten Haupt- 

 formel (II), dass 



Z W) <2-s(^ + .(r). . 



1 

 Bezeichnet man mit (•>{z) die Zahl 



^>(.)^l-lim§0;= lim^^i^^i^l^^i (0<:ô^1), 



so wird also a fortiori 



s 



(20) >[0(3„)<2. 



1 



Dieses Ergebnis besteht nun wie gross die Anzahl q auch gewählt w ird, uud man schliesst folglich 



zunächst: 



Die Menge der Werte z, für ivelche <'>{z) 'positiv ist, ist abzahlbar. 



Diese Bemerkung berechtigt uns jeden Wert 0, für welchen f-)(z) nicht gleich Null ist, als 

 einen Avsnahmewert der Funktion / im Winkekaume W zu bezeichnen. Die entsprechende Zahl 

 &{z) benennen wir das Geivicht des Ausnahmewertes. Aus der Ungleichung (20) folgt nun weiter: 



SATZ 2. — Sei f eine meroviorplie Funktion von endlicher Ordnung, die im Winkelraume 



W der Bedingung 



lim S (f ) = cc. 



r= CD 



genügt. Die Funktion besitze in W die Ausnahmewerte Sj, z^, . . ., z^, . . . Dann ist die avs den Ge- 

 wichten dieser Werte gebildete Reihe 



konvergent und ihre Sunune höchstens gleich 2. 



') Dies kann mittels der im letzten Abschnitt dieser Arbeit gegebenen kanonischen Darstellung einer 

 meromorphen Funktion in einem Winkelraum geschehen. 



N:o 12. 



