III 



In diesem letzten Abschnitt werden wir, von der Integralformel (2) S. 5 ausgehend, eine 

 innerhalb eines gegebenen Winkelraumes gültige Darstellung einer nieromorphen Funktion 

 endlicher Ordnung herleiten. 



Es sei /(.)•) in jedem endlichen Punkt der oberen Halbebene l{x)>0 niuroniorph. Wenn 

 die zugehörige Fundamentalgrösse S (r) zunächst beschränkt angenommen w ü'd, so ergibt sich 

 die in Aussicht gestellte Darstellung direkt aus der Formel (vgl. S. 5) 





I 



\r''+ 1^- 2 rt cos (p /rV ( 



l ^ P "^(') ' 2rtcosq,) 



dt 





!((»■ cos (tf + qp)) 



diy 



— > log ^ 



\''li\<0 



e'-a-x 



+2] log 



X— b„ 



x-b„ 



■b,x 



b„x 



{x = re'>) 



durch den Grenzübergang p — oo. Hierbei hat man nachstehende Folgerungen aus der voraus- 

 gesetzten Beschränktheit der Grösse S zu beachten: 



1:0. — Das Integral 



r \ iog\f(t)\\+\iog\f(-t)\ \^^ 



ist konvergent. 



2:0. — Es existiert der endliche Grenzwert 



lim 



1.1^'^ 



f{(,i^)-Z 



siü 3^ di^ = t] {2). 



3:0. — Die Reihen 



und das Integral 



^ sin «^ „ sin ß^ 



J^dt 



N:o 12. 



