über die Eigcvsrhaften meromorplier Funklionen in einem Winkelraum. 31 



Dio !('l7.1(> Sinnnie rechts in (i) ergibt schliesslich als Grenzwoi't dif iieihe 



Xlog 



X ~ h^ 

 ■'■ f>., 



iinil wir hivlien also ziisammenfasserid das Ergebnis: 



SATZ 1. — - Es sei f{x) eine in jedem endliehea Funkl, der uheren Tlalhehene meromorphe Funk- 

 iiun mit den jSUillstellen (i„ und Polen l.. Wenn dann die ziujehüriae Fundavienlalgrösse S{r) he- 

 schränhl ist, so cxisiierl der endliehe Gremivert 



lim ' / log : / (re '^'') | sin .'> d '> = i? , 



U 



und rs ist für jeden Funkl x = re'''' der beiraehlelen Ihdbehene: 



(3) los\fir,^ri-],j^os\fil)\^,^^}^-y-^rHm,-^l^\og ^^^ | + I log | :-^,; 



Dieses Ergebnis enthält als unmittelbares Korollar einen Satz, den ich früher als eine Er- 

 weiterung eines bekannten PiiRAGMEN-LiNDELÜFSchon Satzes bewiesen habe. ') Nimmt man 

 nämlich an, dass ! / {:c) I < 1 auf der reellen Achse und 



1 i' + 

 lim . log I / (r e' ' )\smO d .'/ = , 



so ist zunächst 17 <0. Wenn ferner / (x) in der oberen Halbebene regulär angenommen wird, 

 so ist S{r) beschränkt und sämtliche Glieder rechts in (3) sind nichtpositiv; es ist demnach 

 log I / I <^ 0, 1 / K 1 in jedem Punkt dieser Halbebene. 



Wir gehen jetzt zu dem allgemeineren Falle über, wo S (r) mit wachsendem r selbst unbe- 

 schränkt wächst. Es existiere andererseits eine so grosse (ganze) Zahl q>0, dass das Integral 



konvergent ist, und also 



lim^^'--'=o. 



1= CO ^ 



Wir stellen wieder zunächst einige Konsequenzen aus dieser Voraussetzung zusammen, die wir 

 im folgenden nötig haben und die sämtlich unmittelbare Folgerungen der am Ende des ersten 

 Abschnittes gegebenen Hilfssätze sind. 



1:0. — Die Integrale 



(,) l Ijos I nt)\\ + \lo g\f{-l) I I ^ . r aU;z) + a{-t ;z) ^ ^ 



sind konvergent. 



') Vgl. R. Nbvanlinna: Über die Anwendung des Poissonschen Integrals zur Untersurhung der Singularitäten 

 analytischer Funktionen (V«^ Congrès des Mathématiciens Scandinaves, Helsingfors 1922) und die S. 6 zitierte 

 Arbeit von F. und R. Nevani-inna. 



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