über die Eigcnscliaflen mrroinorjilier Funklionen in einem Winkelrcmm. 3ä 



Nach 3:0 verschwindet dieser Quotient ;iber für (?— co, sobald v>q-\ I, uml das betrachtete 

 (Uied i^'elit also üljor in 



2 ^ sin vor,, 



V 



^-^ sin v«,, , . , 



\ '- für jedes v>q+l. 



^ kal" 



I v I >?0 



In derselben Weise findet man schliesslich als Grenzwert iles letzten, V(m den Pdli'n /; herrüh- 

 renden (lliedes der Formel (3) (S. fi) die Summe 



^y^ i^>rn). 



"^ \\\ 



I '/1 1 > ?• 



Zusammenfassend ergibt sich also für den Koeffizienten e, die für r "> g + 1 gültige Dar- 

 stellung 



Man betrachte nun andererseits den Ausdruck U,j + i (x), der aus der rechten Seite der For- 

 mel (1) (S. 29) formal so hervorgeht, dass man g = cc setzt, und von dem Kerne des Integrals 

 und den Ghedern der von den Nullstellen und Polen herrührenden Summen die g + 1 ersten 

 Glieder ihrer trigonometrischen Entwicklungen subtrahiert, d. h. den Ausdruck: 



(7) ü, + i(x) = l^j log / (0 : A-„ (.r ,t)\dt\ + ^log\ D, (x , a„) i - ^ log | D, (x , K) [ , 



wo 



.■> + 1 



K (x Ù '^^^ y ^l^^i^ = I ( ^ ] (x = re"") , 



Dg(x, a)- 



und 



E 



(:■'.) 



hier bezeichnet E{n,q), wie gewöhnlich, den W'EiERSTRASSschen Primfaktor 



E{u,q) = (l~u)e 



Man bestätigt unschwer, dass das Integral und die Summen rechts in (7) wegen der vorausge- 

 setzten Konvergenz des Integrals (4) und der Reihen (4') in jedem inneren Bereich der oberen 

 1 laibebene absolut und gleichmässig konvergieren. l/,,+ i definiert also eine in dieser Halbebene 

 harmonische Funktion, die in jedem Punkt (ausser a,, und h,,) regulär ist. Auf dem Segment |a;| 

 < (»0 der reellen Achse verschwindet sie und lässt sich hierüber in dii' untere Halliebene fort- 

 setzen. Speziell ist sie im ganzen Kreise 1 a; 1 < Ço regulär und lässt sich also in eine daselbst kon- 

 vergierende trigonometrische Reihe entwickeln. Es ergibt sich aus (7): 



Uj + i{x)='^c,r''sm>'<f, 



g + i 



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