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wo die Koeffizienten c, ebenfalls die Werte (6) haben. Man scbliesst also, dass 



Ui (r e''f') = 2j '^- '■' s^° rqi + Uq + i (r e'") 

 1 



zunächst für \x\ <Cço gilt; aus dem Prinzip der harmonischen Fortsetzung folgt aber weiter, 

 dass die Gültigkeit dieser Gleichheit sich auf jeden Punkt der oberen Halhehene erstreckt. 



Für die meromorphe Funktion f{x) ergibt sich schliesslich die in der- ganzen oberen Halb- 

 ebene gültige Darstellung 



(8) log I / (re'") j = Uo (re'f) + ?7j + i (re'") + ^j c.r" sin v r/ , 



wo Uo und U,j + i durch (1) S. 4 bzw. (7) definiert sind. Wir bezeichnen nun mit /„(.r) die ana- 

 lytische Funktion, die durch die Gleichheit 



(9) log[/o! = Uo 



bis auf einen Faktor e'"' eindeutig bestimmt ist; addiert man dann zu beiden Seiten der Formel 

 (8) die konjugierten harmonischen Funktionen, so kann unser Ergebnis in nachstehender Weise 

 ausgesprochen werden: 



SATZ 2. — Es sei fix) eine in jedem endlichen Funkt der Halhehene l(a;)^0 meromorphe 

 Funktion und S{r) die zu ihr gehörige Fundamenlalgrösse. Wenn das Integral 



J '•' + ' 

 für ein fositives, ganzzahliges q konvergent ist, so ist 



(10) /W^/.W. „i.. ■ jj^_,^^^y 



Hier ist /„ die dur(li die Gleichung (9) hestimmie, ausserhalb des Kreises \x\ = q,, {einschliesslich 

 des UnendlichkeilS'punkles) reguläre analytische Funktion, P,j ein rolipiom vom Grade <Ç q, dessen 

 Koeffizienten reell sind, und D,j gleich 



D,j{x, a) 



E 



(!-) 



Wir beweisen noch folgenden ergänzenden 



ZUSATZ. — Die Darstellung (10) ist auch im Falle q=0 gültig, falls S{r) beschränkt ist 

 und dazu: 



(11) lim ^ r I log j / (re' ^)\\^mi} di> = 



r = CD '' 

 



Ist nämlich S bescliränkt, so gilt die Darstellung (3) S. 31, wo nach der Voraussetzung (11) 

 11 jetzt =0 ist. Diese Formel ist aber mit der obigen (10) identisch, falls q = gesetzt wird. 



Tom. L. 



