t^bcr (lie Eirirnfich.afUi) nicroinorphcr Fiuiktioncn in rtnnn W'inkalraum. 35 



Ans der Darstellung (10) geht die wichtige 'rntsaclic iicivdi', dass ciiii' in l'iiicr llalbebene 

 iiirniiiKirpiic Fuiiklioii vdii cndliciicr (»rdiiiiii;^- /,■ duirli ilii'c Nullstcllen iinil l'nli' und ilii' liniid- 

 wci'to ihres alisidutcn lietrages bis au! einen !<'a,ktnr c'''', wo /',, ein Polynom vom tirade q<k' 

 bezeichnet, cindeuliij bestimmt ist. Eine Folgernng diesei' Tatsache ist, dass falls die Ordnung Ic 

 (uner meromorphcn Funktion in einem \\'inkelraum der (')ffnnng j' kein MnUipel von h ist, die 

 asymptotischen Eigenschaften der ]<'nnktion im Wesentlichen bestimmt sind, wenn das Ver- 

 halten der Fnndamentalgrössen .1 nnd (' für zwei Werte z bekannt ist. Um dies ein/nsehen 

 brauchen wir indessen eini^v iUlfssätze, die sich auf die einzelneu Faktoren der rechls in (in) 

 stehenden Ausdrucks beziehen nnd die im fidii'enden rai'agra.phen bewiesen werden solkui. 



2. Wir beweisen zunächst den 



HILFSSATZ 1. — Es sei f (.r) in der oberen. Halbebene vieromorpli und das Integral 



(12) fi^ŒLi±$Km=Mdt 



konvergent. Dann ist {x = re'''') für r >Çoi 0<y^Ä 



I 1 r + ■ \ r ait) F a (t) 



(13) siny -j log|/(()!/v,,(.(;,0|fi!<t <lirn j -^.f+jdt + r j -j^,d 



■WO h eine von r nnd <f< unabhängige Grösse bezeichnet, und ^ 



a{t) = a (t ; ex?) + a(—t;oo). 

 Es ist gemäss der Definition des Ausdi'uclîS K,j, falls 1 1 \ > 2 r, 



und für 1 { !< 2 r 





sin q I K,ix, t) , < - .^r-2rtcos 7r + L Jifr+i • 



Hier ist das erste Cllied rechts gleich 



wo w den Winkel bezeichnet, den der Vektor x — t mit der Richtung der positiven reellen Achse 

 bildet, und man findet also: 



1 V^ )•" r* r* + ' 

 sin if K„\<-+ > , |-f < h, j-, < 3 n, 7-1 ' 



' '' = »■ ,^1 |<r + ^^-- ' 1*1*"^^ ^\t\'' + U\t\+r) 



wo /ii eine nur von q abhängige Zahl bezeichnet. Es existiert also eine von r und (f unabhängige 

 Zahl /la derart, dass die Ungleichung 



sin (f ! 7v' (re'>, t) ! < ^ 



für r > und jedes t gilt. Es wird hiernach weiter: 

 N:o 12. 



