

36 RolfNevanlinna. 



CO as 



I < I > ?o ' = ?» 



{t + r) 



Die Behauptung (13) folgt hieraus, wenn man das letzte Integral als Summe von zwei Integralen 

 zwischen den Grenzen q^ und r, bzw. r und c» schreibt. 



Aus dem oben Bewiesenen ergibt sich der 



HILFSSATZ 2. — Es sei /(.t) eine nwtomorphe Funktion, die in der oberen Halbehene i^on 

 endlicher Ordnung ist und g>0 die kleinslc ganze Zahl, für welche das Integral 



(14) l a(t.n^ai-t,n + a{t,l) + a(-t,Pl 



J tq + 2 



konvergiert. Es bezeichne ferner il'qix) die i)i der oberen HaJbebene reguläre analytische Funktion 



(15) 4>: 



A3;; - e I , , . 



und S{r,ip,j) die zu ihr gehörige Fundanientalgrüsse. 



Dann ist im Falle g = : 

 (IQh S(f,Vo) = 0(l). 



Ist wiederum g > 1 und die Summe 



(17) a (t, f) + a{~t,f) + a ((, J.) + a (- «, J.) 



von der Ordnung t'- {q<À<Cq + l), so ist S{r, ijj.^) von der Ordnung r^-' und iveiter 



(16') liin'^^ = o. 



j — CO • 



Die Ordnung der Funktion ij',, in der H albebene l{x)>0 ist also gleich k. 



Beweis. — Wenn das Integral (14) für q ~> u konvergiert, so ist die Summe (17) gleich 



+ +[11 



sr'' + \ wo «-,0 für r^oo. Schreibt man nun in (16): log |/ | = log 1/ | — logU , so ergibt 



sich aus der Ungleichung (13) dass 



(18) siny |log| t//j] I < «r« + \ 

 und es ist also 



(19) Bir, ^',) = ^.j log tl>,{re'^)\sm 9 d»<er". 



Ô 



Ferner ist a{r,f) = a{r,ip,j), und also nach dem Hillsatz 3 S. 11 A{r, U'o) = (!) und 

 A{r,ipg) = sr'' für qP-l. Da schliesslich C{r,i}i,)=0, so ergeben sich die Beziehungen (16) 

 und (16') unter Anwendung des ersten Hauptsatzes. 



Wenn, im Falle g^l, die Ordnung der Summe (17) gleich r'- ist' {q<l<,q + l), so ist 

 die Summe A (r, /) + A (r, .) = .1 (r, i/'ï) + -'^ (»", -^) von der Ordnung r^ - '. Nach dem ersten 



Tom.^^L. 



