über die Eigenschaf Ion. meromorphcr Funklionen in einem Winkrlraum. 37 



Hauptsatz ist also S{r, il'.j) nicht von nii^driiivivr OnliuiiiiA- als »•■*-'. Andererseits ist sie auch 

 nicht von huluMvr ( Jnlniinfi-. Denn ans i\rv l'u-'iciciiun- (IM) folgt zunächst, dass die Ordnung 

 von B {r, (/',) höchstens gleich »■'• - ' ist; IVrncr ist C (r, (/',) o, und <lie Summe A (r, i/g + B (r, </',) 

 + (_'{r, tji.j) = ,S(r, (/',) + (1) kann also höchstens von der Ordnung r'- ' sein. Hiermit ist der 

 llill'ssatz vollständig bewiesen. 



Wir Hiachcii insbesondere anf naclislclicndr l-'oliicrnag drr Ungleichung (13) aufmerksam: 



ZUSATZ 1. --Es bezeichne fi {r, (p,,) die Grösse: 

 (20) ^;(r, (/',)- max (sin (/log I (/',,(>• 6" •p) ) fili- 0<y'<.T. 



Die Oninumj von fi{r, (/',) ist dann, höchslcns (jirirh der Ordnnnij der Sninnu; (17) und es ist 



lim— ^^ = 0'). . 



Wenn die Ordnung / der Summe (17) nichUjanzzaMig ist, so lässt sich der Hilfssatz 2 etwas 

 verschärfen. Durch einen ähnlichen Beweis, wie der obige, ergibt sich z. B. nachstehender Satz, 

 der für einige spätere Anwendungen von Bedeutung sein wird, : 



ZUSATZ 2. — Wenn die Ordnung l der Summe (17) im Inlervalle q<; X<iq+l{q>l) 

 liegt und das Integral 



J 



r a (<,/■) + n ( - 1 ,/■) + «(<, ^- ) + "(-<, /•) 



^}. + l 



dt 



konvergiert, so sind auch die Integrale 



(21) j-^'->är .». f'^;'-4r 



konvergent. 



Wenn die Voraussetzung dieses Satzes für den ganzzaldtgen Wert >i=g + l erfüllt ist, so 

 ist nach Hilfssatz 2 zwar S(r, i/^O <«»"*"', i"('", '/'3)<**"\ <iie Integrale (21) sind aber nicht 

 notwendigerweise konvergent. 



Wh- gehen jetzt zur näheren Untersuchung der von den XuUstellen und Polen herrührenden 

 Produkte rechts in der Formel (10) über und beweisen zunächst den • 



HILFSSATZ 3. — Es sei a,,= \ a^ \ e"'''(i" = 1, ^, • • •) eine Folge von Punkten, die in der obe- 

 ren Halbebene liegen. Ferner sei die Beihe 



I 

 .') Unter Berüchsichtigung dieses Zusatzes kann man aus der Darstellung (3) S. 31 folgendes scUiessen: 

 Falls f(x) in der oberen Halbebene regulär und die zugehörige Fundamentalgrösse Sir) beschränkt ist, so ist die 



obere Grenze 



ßir) 



lim 



+ 



r 



endlich, icoljei fi (?•) = max (log | f(re' '') | sin rf.) . 



oSiP — " 

 Hieraus folgt weiter, dass wenn M (r) das Maximum von \f\ auf demjenigen Bogen des Kreises |a;|=r 



M (r) 

 bezeichnet, der in einen inneren Winkelraum der betrachteten Halbebene füllt, auch der Quotient — - — 



beschränkt ist. Von dieser Bemerkung haben wir schon im zweiten Abschnitt (S. 21) Gebrauch gemacht. 

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