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Rolf Nevanlinna. 



(22) 



l%l 



Ï+1 



für einen ganszdhligen Wert g^O konvergent, und ^,j{x) die in der oberen Halhehene reguläre ana- 

 lytische Funktion ^ 



^.(*)=nö'i(-^'«'')=n 



1 E 



(£•') 



Bezeichnet Ço>0 ^*"^ Zahl, die kleiner als \ a,x \ ist, so existiert eine von r und (f unabhängige Zahl 

 k derart, dass die Ungleichung 



(23) log>3(re'>)|<fers 



für r>eo bestellt, wobei c{t) die Summe 



jj^.^'^'ir^ 



c(f) = 2jSinap 



bezeichnet. 



hu Falle q = ist 

 (23') 



.<l'»„l<( 



log ] *,, (cc) ! < für l{x)>0. 



Beweis. — Wenn g = 0, so ist jeder Faktor des Produktes st in der oberen Halbebene dem 

 absoluten Betrage nach höchstens gleich Eins, woraus die Beziehung (23') folgt. Im Falle g^l 

 ist wiederum 



(24) 



und also für r < | a^ 



log 1 D,j (re"", tt;,) I = log 1 "^^ 



. = 1 " I "m I 



«—^ sin vn,, 

 (25) log|D3(re'>,a^)i = -2> - — f^r'smry. 



Ist nun 1 a^, I < 2 f , so folgt aus (24), wenn man bemerkt, dass das erste Glied rechts nichtpositiv 

 ist und dass 



I sin va I 



[sini-ff^l 



Sin a„ 



^î + 1 



log D, < 2 sin «, Ç (^)" < k, sin «, (^,)" < fc. sin «, ^^^^^^^^j^ ' 

 wo fca und /,-, nur von q abhängig sind. Im Falle 1 o^i I > 2 r ergibt sich aus (25): 



log I D, 1 < 2 sin «, £ (-^)" = 2 sin «, (^)'^ ^ ^ J^^ < 6 sin a 



^« + 1 



(26) 



j+l •' /-■ ' ,<" ' ^' 1 O^ l' (l«;t, I + »■) 



Jedenfalls existiert also eine von a^,, r und ^ unabhängige Zahl fcg derart, dass 



,.2+1 



log I D,j (re< 'P, a^) \ < k^ sin a^ 



a^\H\a,A+r) 



Tom. L. 



