über die Eigenschaften meromorfher Funktionen in einem Winhdraum. 39 



Gemäss (25) ist nun 



( = e« 



<Wc.».-/^^- 



woraus die Behauptung (23) folgt. 



HILFSSATZ 4. — Sei q die Meinsle ganze Zuhljür welche die Reihe (21) konvergiert. Ferner 

 bezeichne S{r,^,^) die zu der Funktion sr^ gehörige, Fundamentalgrösse und M {r, rr^) das Maximum 



M (r , -T,,) = max ' fc.j (r e' ''') 1 für ^ y < sr . 



Diuiii ist 



M(r,^„)<l, <S'(i-,^„)=0(l) 



imd 



+ 

 loa; A/(r, ;t ) ,. S{r, nj 



lim- !: " =0, lim ^=0 für q>l. 



TT>«ti rf(V Ordnung der Grösse c{r) gleich r^ ist, so ist /S(r, .t,^) ron der Ordnung r'--\ falls 

 ly>l. Ist Å. insbesondere nichtganzzahlig (q<'^<g+l) und das Integral 



00 



J 



c{t) 

 jA + 1 



dS 



konvergent, so konvergieren auch die Integrale 



J ^.A + 1 ^^ «"'^ J ~^'''"- 



Zum Beweise bemerke man, dass | «J = 1 auf der reellen Achse und dass ?r,^ im Innern 

 der oberen Halbebene regulär ist. Folglich ist A(r,sTg) = 0, C(r, 3r,j) = 0, und also B(r, srj) = 

 S{r,sT^) + 0{1). Die Grössen B und log M werden weiter ''mittels der Ungleichung (23) in 

 ähnlicher Weise abgeschätzt, wie B uml // im llilfssatz 2 (nebst Zusätzen) mittels der analogen 

 Ungleichung (13). 



3. Es sei /(x) wieder eine im Winkelraumo TFm <arga;<^j meromorphe Funktion von 

 endhcher Ordnung X. Wenn />fc ist, so ist die Summe 



. TT 



(27) a(r; z) + a{re^ '•; z) + b (r; z) + c(r; z)^s(r; z) 



für jedes z von der Ordnung r'- und die Fundamentalgrösse S{r,f) von der Ordnung r^ -'•' (vgl. 

 S. 13). Die oben abgeleitete kanonische Darstellunti,- erlaubt uns nun folp,'nndo Ergänzung zu die- 

 sem Ergebnisse zu beweisen: 



SATZ 1. — Es sei f{x) eine im Winkclrauin 0<arg.'c<^x mcroinorphe Funktion von der 

 endlichen Ordnung A>Ä;. Wenn /. kein Multipel der Zahl k ist, so ist die Summe 



(28). a(:r,z) + a(;re'' ■,z) + cir;z) 



von der Ordnung r^ für jedes z ausser möglicherweise einem einzigen Wert. 

 N:o 12. 



