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Beweis. — Vermittels einer Variabelsubstitution lässt sicli der Satz auf den Fall fc = 1 zu- 

 rückführen. Wir führen den Beweis indirekt und nehmen also an, dass die Summe (28) für- zwei 

 Werte s = « und z = ß von der Ordnung /.' < Â sei. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit 

 können wir a = oo und ß = Q wählen, denn der allgemeine Fall wird auf diesen zurückgeführt 

 durch eine hneare Transformation, die die Ordnung der Funktion / invariant lässt (vgl. S. 9). 



Es sei nun q{>0) die grösste ganze Zahl von der Eigenschaft g<A. Weil / von der Ord- 

 nung / ist und g + l>/, so muss das Integral 



CO 



/ 



'^'^fUr 



konvergent sein, und f(x) lässt sich also in der oberen Halbebene durch die Formel (10) S. 34 

 darstellen. Es ist also 



^^^mM. 



(29) ♦ i{:^) = U{^)e^''^\,x-^,,^^^^^fy 



wo (/v^ die Funktion (15) und stAx, ,.j die früher (S. 38) mit sr^{x) bezeichnete Funktion bedeutet. 

 Wir machen nun von folgender einfachen Bemerkung Gebrauch: Wenn f,{x){v= 1, 2, • ■ -, p) 

 Funktionen bezeichnen, die in der oberen Halbebene meromwph sind, so ist 



)> 



(30) '^(r, A •/.•••/„)<£ S (r,A). 



1 

 + + + 



Aus der Ungleichung log | /i •••/;, I < log | /i | + ••• + log | j,, \ folgt nämlich zunächst, dass 



p p 



(30') Air,f,-..f„)<^Air,f.), B (r, f, ■ ■ -/„yS^B (r, f.). 



1 1 



Ferner sind s/imtliclic Pole des Produktes /i . . . /,, in den Polen der Faktoren entiialten und also 



(30") C'(r,A.../,)<|;C(r,/„). 



1 



Die zu beweisende Ungleichung ergibt sich nun durch Addition aus (30 ') und (3o"). 



Bemerkt man, dass nach Hauptsatz I: 



S(r,l) = 8(r,.rr,) + 0{1), 



so folgt aus (20) durch Anwendung der Ungleichung (30): 



(31) S(r, /)< ,S'(r, /„) + S{r,c''") + S{r, .,%) + S(V, ^„(a;,^-)) + S{r,^,(x,f)) + 0(1). 



liier ist zunächst 



S(r,/o)=0(l), S(r,e''^) = 0(f»-i). 



Da die Summe (28) nach' der Antithese für s = 0, s = co von der Ordnung r^'(/l'<A) ist, so 

 folgt ferner aus den Hilfssätzen 2 und 4, dass die Ordnung der vier letzten Glieder in (31) höch- 

 stens r^'-' ist. Die ganze rechte Seite ist also von niedrigerer Ordnung als r^~', was unnuiglich 

 ist, da die linksstehende Grösse S{r, /) doch nach der Voraussetzung des Satzes genau von der 

 Ordnung r* - ' ist. Aus diesem Widerspruch geht die Richtigkeit des Satzes hervor. 



Tom. L. 



