über die FAgenschoficn mernmorpher Fwikliniirn in einem Winkelraum. 



41 



Tim S(t|i'loicli ciiK' cinfac'lic Aiiwriidnuj;' des nhii^M'ii Sjitzcs y.ii iiuicJicn, l)etr;xclitf'ii wir eine 

 jfo/isc Funktion /(.c) von cnillicliiT ( »rdnnnu-. dir ;nif den Sclicnkciii lics Winkels VF/o <arga;<^] 

 den asymptotischen Wert ^ ii.it und zwar so, dass dir (iiösse 



a (r; oo) + a {re'''' ; oo) = j (log | /(/) | + log | / (te '• ) |) '[^ 

 è. 



von der Ordnung r'- ist, wo A >fc. r>;inn ist, falls die ( )rdnuni!- von //(»•; oc) nicht höher als r' ist, 

 die Funktion / von der Ordnung / im Winkelraum ir. Ist wiederum die Ordnung A' von h (und 

 /) grösser als A, so kann man folgendes behaupten: Wenn /.' kein MuUipel ron k ist, so nimmt f{x) 

 jeden endlichen Werl z im Winkelratim W nnendlich ofl an derart, dass die Grösse c{r;2) von der 

 Ordnung r^' ist. In der Tat ist die Funktion / von der Ordnung r^' und die Summe (28) für z = oo 

 von niedrigerer Oi'diiung (r^). Nach Satz 1 muss sie also für alle endlichen Werte z von der Ord- 

 nung r^' sein; hieraus folgt die Behauptung, wenn iiuin l)emerkt, dass / auf den Schenkidii von 



W gegen co strebt und dass also die Sumnir «(c; s) + aire'^-, z) für jedes endliche z beschränkt 

 sein muss. 



In ähnlicher Weise, wie den Satz 1, beweist man ferner nachfolgenden, schärferen Satz: 



SATZ 2. — Es sei f(x) eine im Winkelraum IF/o < arg a;<^) meromorphe Fmikiion von 

 der endlichen Ordnung A > fc. Ferner sei das Integral 



i TT 



a{r;z) + a(re'' -.z) + c tr; z) 



r 



j. +1 



àr 



für zwei Werte z konvergent. 



Wenn X keine Multipel der Zahl k ist, so konvergiert das Integral 



00 



/ 



a(r;z)+a(re'' ; z) + b (r; z) +e(r; z) 



„A + l 



~dr 



für jedes z. Falls f{x) insbesondere in W regulär ist und 



so ist auch das Integral 



konvergent. 



fj (r) = max (log \f{re''") \ sin fey). 



J r'+' 



dr 



4. Von der kanonischen Darstellung (10) S. 34 ausgehend könnte man, in Analogie mit der 

 Definition des Geschlechtes in der Theorie der in der vollen Ebene meromorphen Funktionen, 

 das Geschlecht einer meromorphen Funktion in einem gegebenen Winkelraum definieren. Bei einer 

 ganzen oder meromorphen Funktion ist bekanntlich das Geschlecht durch die Ordnung / ein- 

 deutig bestimmt ausser für ganzzahlige Werte /i, für welche gewisse Komplikationen eintreten. 

 Mittels der in den zwei letzten Paragraphen gegebenen Sätzen könnte man analoge Regeln zur 

 Bestimmung des Geschlechtes einer in einem Winkelraum der Öffnung ", meromorphen Funk- 

 N:o 12. « 



y 



