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tion aufstellen; die Rolle der ki-itischen Ordnungen wird hierbei von den Werten k = vk {v= l, 

 2, . . .) übernommen. 



Ohne auf eine nähere Erörterung der oben berührten Verhältnisse einzugehen, wollen wir 

 zum Bchluss, als Anwendung der oben erzielten Ergebnisse, einen Satz beweisen, der einen Bei- 

 trag zu gewissen Fragen in der Theorie der ganzen Funktionen liefern wird. 



Es sei / (x) eine ganze Funktion von der endlichen Ordnung ■i > s und M« (r) das Maximum 

 von I / I auf demjenigen Bogen des Kreises \x\ = r, der innerhalb eines gegebenen Winkelraumes 

 a fällt. Nimmt man weiter an, dass log M« von niedrigerer Ordnung als r^ ist, so weiss man, dass 

 die Öffnung des Winkels « höchstens gleich 51(2— -A sein kann. Andererseits kennt man ganze 

 Funktionen (z. B. die MiTTAG-LEFFLERSchen E-Funktionen), die in einem Winkelraum von die- 

 ser extremen Grösse sogar den asymptotischen Wert Null haben, i) 



Anders verhält sich die Sache, wenn f{x) einen endlichen Ausnahmewert z hat derart, dass 

 die Anzahl n (r; £) der ^-Stellen von / (.t) im Kreise | a; | < r von niedrigerer Ordnung als r* ist (dies 

 kann bekanntlich nur für eine ganzzahlige Ordnung X eintreffen). Dann könnte man schon mit- 

 tels der WEiEBSTRASSschen Produktdarstellung schliessen, dass die Öffnung eines Winkelraumes 

 «, wo log Ma von niedrigerer Ordnung als r^ ist, höchstens gleich "- ist, was für / > 1 mehr aus- 

 sagt als der obenerwähnte Satz. Dies ergibt sich auch als Korollar des nachstehenden, schär- 

 feren Satzes, der im folgenden bewiesen werden soll: 



SATZ. — Es seien f{x) eine ganse Funktion endlicher Ordnung mit den Nullstellen r„e"^" 

 {n= 1, 2, . . .), ili(r) ihr Maximalmodul 



M (r) = max | / (a;) | 



und Ma (»■) das Maximum, von \ f \ auf dem innerhalb eines Winl'elraumes a fallenden Teilhogen 

 des Kreises \ x \ = r. Ferner seien die Reihe 



und das Integral 



(33) r^^" 



für einen Wert fc > 1 konvergent. 



Wenn die Öffnung des Winkels a grösser als 7. ist, so ist auch das Integral 



(34) j^'f^är 



konvergent und die Funktion f{x) also höchstens von der Ordnung r*'. 



Beweis. — Es sei ß der Eksplementwinkel von «, und mß(r) das Integral 



r + 

 mßir) = J log|/(re'>)|dy, 



') Vgl. die S. 21 zitierten Arbeiten von Biebbrbach. 



Tom. L. 



