über die Eirjenschaflen virrnmorfiher h'-imklioven in riiirm^ Wivkclmnvi. 43 



wii die IntesTatidii über ilcii iniuTliiilli ß liriiriidiMi lliiuvn iIcs Kroisos |x| = r erstreckt werden 

 soll. Wenn )iiß von uirdrinerer < >rdnnn^' als i> ist, so foliit ans der Voi'aiissetzung des Satzes, dass 

 das Integral 



+ 



j '^^idr, wo m(r)= 2^ flog I /((•(?■>)[ rfy, 



konvergieren nuiss. Es ist aber bekannt, dass für rinc derartige Fniü<ti()n aiicii das Integral (34) 

 konvergent ist. ') 



Wir können also im folgenden annehmen, dass die Ordnnng /( der Grösse OT,?(r) grösser als, 

 od(>r gleich k ist.' Es sei nun «' ein mllständig innerhalb « liegender Winkelraum von der Öff- 

 nung ^, , derart dass 



(35) ^>^'>fF^i- 



Unter Berücksichtigung dieser Vorschrift legen wir den Wert fe' so fest, dass h keinlMulii/pel der 

 Zahl ÖTT-— r ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass «' der 

 Winkelraum < arg x<~ ist. Beachtet man, dass / {x) eine ganze Funktion ist;^ und also 



c(r, /) ~c(r;oo) = 0, SO ergibt sich aus der vorausgesetzten Konvergenz des Integrals (33), dass 

 das Integral 



/ a (r; z) + a {re ''' •,z) + b(r;z) + c{r\z) . 



für z = Qo konvergent sein muss.'-) Da die Öffnung von «' gleich ^ ist und k > k', so schliesst 



man hieraus, dass dieses Integral für alle Werte z konvergiert (vgl. S. 12). 



Nach dieser Vorbereitung gehen wir zur Untersuchung der Eigenschaften der Funktion f{x) 

 in dem Eksplementwinkel ß' von «' über. Um unsere gewöhnliche Bezeichnungen benutzen zu 

 können, denken wir uns ß' durch eine Drehung von vornherein in die Lage 



< arg a; ^ y ' wo t = .rp^i^ ' 



gebracht. Aus dem oben bewiesenen schliessen wir zunächst, dass das Integral 



CO Li 



(36) J a(.;.) + a(re^.) ^^^. 



für jedes z konvergent ist. Die Summe 



in 



a (r ; oo) + a {re ' ; oc) 

 ist demnach höchstens von der Ordnung r*'. Um die Grösse 



/• + 

 ?)(r;oo)= I logj/Crp"") smUfdip 



') Vgl. meine S. 9 zitierte Arbeit, insb. S. 'l'ô. 



-) Die Hilfsgrössen 6, c sind hierbei für den Winkelrauni «' zu bilden 



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